E5 – Polinomio determinado por inflexión y recta tangente
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Determine la función:
\[
f(x)=x^3+ax^2+bx+c,
\]
sabiendo que tiene un punto de inflexión en \(x=1\) y que la recta tangente a su gráfica en el punto \((-1,0)\) es el eje de abscisas. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Hay tres coeficientes desconocidos: \(a\), \(b\) y \(c\). Necesitamos obtener tres condiciones.
- Inflexión en \(x=1\): \(f''(1)=0\).
- El punto \((-1,0)\) pertenece a la gráfica: \(f(-1)=0\).
- La tangente es el eje \(OX\), cuya pendiente es cero: \(f'(-1)=0\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Primera y segunda derivada.
- Recta tangente.
- Puntos de inflexión.
- Determinación de parámetros.
La pendiente de la tangente en \(x=x_0\) es \(f'(x_0)\).
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(f'\) y \(f''\). Aplicamos primero la condición de inflexión para hallar \(a\).
Después usamos la pendiente nula de la tangente para hallar \(b\).
Finalmente imponemos que \((-1,0)\) pertenece a la gráfica para determinar \(c\).
🟣 Resolución paso a paso
Partimos de:
\[
f(x)=x^3+ax^2+bx+c.
\]
Sus dos primeras derivadas son:
\[
f'(x)=3x^2+2ax+b,
\]
\[
f''(x)=6x+2a.
\]
1. Condición de inflexión
Como hay un punto de inflexión en \(x=1\):
\[
f''(1)=0
\Rightarrow
6+2a=0
\Rightarrow
\boxed{a=-3}.
\]
2. Condición sobre la pendiente
El eje de abscisas es una recta horizontal, por lo que la tangente en \(x=-1\) tiene pendiente cero:
\[
f'(-1)=0.
\]
Sustituimos \(a=-3\):
\[
3(-1)^2+2(-3)(-1)+b=0,
\]
\[
3+6+b=0
\Rightarrow
\boxed{b=-9}.
\]
3. Condición de paso por \((-1,0)\)
Como el punto pertenece a la gráfica:
\[
f(-1)=0.
\]
\[
(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+c=0,
\]
\[
-1-3+9+c=0
\Rightarrow
\boxed{c=-5}.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{f(x)=x^3-3x^2-9x-5.}
\]
Comprobamos la inflexión: \(f''(x)=6x-6\) cambia de signo al pasar por \(x=1\). Además:
\[
f(-1)=0,
\qquad
f'(-1)=0,
\]
por lo que la tangente en \((-1,0)\) es efectivamente \(y=0\).
Qué debes aprender de este problema
- Cada dato geométrico se traduce en una ecuación sobre la función o sus derivadas.
- Un punto de inflexión exige estudiar la segunda derivada.
- Una tangente horizontal tiene pendiente cero.
- Decir que la tangente es el eje OX aporta tanto el punto como la pendiente.