E6 – Existencia y unicidad de una solución
Castilla y León · 2020 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Demuestre que la ecuación:
\[
x^4+3x=1+\sin x
\]
tiene alguna solución real en el intervalo \([0,2]\). Pruebe que la solución es única. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Para aplicar el teorema de Bolzano trasladamos todos los términos a un mismo miembro y buscamos un cero de una función.
Bolzano garantiza la existencia, pero no la unicidad.
Para demostrar que solo puede haber una raíz, estudiaremos el signo de la derivada en \([0,2]\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad.
- Teorema de Bolzano.
- Monotonía.
- Unicidad de una raíz.
Una función estrictamente creciente no puede cortar dos veces el eje de abscisas.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos \(f(x)=x^4+3x-1-\sin x\).
Comprobamos que es continua y que \(f(0)\) y \(f(2)\) tienen signos opuestos.
Después probamos que \(f'(x)>0\) en todo \([0,2]\).
🟣 Resolución paso a paso
Existencia de una solución
Pasamos todos los términos al primer miembro:
\[
x^4+3x-1-\sin x=0.
\]
Definimos:
\[
f(x)=x^4+3x-1-\sin x.
\]
La función es continua en \(\mathbb R\), ya que es suma de funciones continuas. En particular, es continua en \([0,2]\).
Calculamos sus valores en los extremos:
\[
f(0)=-1<0,
\]
\[
f(2)=2^4+3\cdot2-1-\sin2
=21-\sin2>0.
\]
Como \(f\) es continua y cambia de signo, el teorema de Bolzano asegura que existe al menos un \(c\in(0,2)\) tal que:
\[
f(c)=0.
\]
Por tanto, la ecuación tiene al menos una solución en \([0,2]\).
Unicidad de la solución
Derivamos:
\[
f'(x)=4x^3+3-\cos x.
\]
Para \(x\in[0,2]\), se cumple \(4x^3\geq0\) y \(\cos x\leq1\). Por tanto:
\[
f'(x)=4x^3+3-\cos x
\geq 0+3-1=2>0.
\]
Luego \(f\) es estrictamente creciente en \([0,2]\). Una función estrictamente creciente solo puede anularse una vez.
Conclusión:
\[
\boxed{\text{La ecuación tiene una única solución en }[0,2].}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano demuestra la existencia de una raíz mediante continuidad y cambio de signo.
- La existencia y la unicidad son cuestiones diferentes.
- Una derivada estrictamente positiva garantiza crecimiento estricto.
- El crecimiento estricto impide que haya dos raíces en el mismo intervalo.