Posiciones relativas de planos
Aprende a estudiar la posición relativa de dos y tres planos en el espacio usando vectores normales, rangos y sistemas.
Idea básica
Los planos en el espacio se estudian a partir de sus ecuaciones generales. Para analizar su posición relativa, usamos los vectores normales y, especialmente cuando hay tres planos, el estudio de rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
Posiciones relativas de dos planos
1. Planos secantes
Se cortan en una recta. Sus vectores normales no son proporcionales.
2. Planos paralelos
No tienen puntos comunes. Sus vectores normales son proporcionales, pero los planos no coinciden.
3. Planos coincidentes
Son el mismo plano. Sus ecuaciones son proporcionales y comparten todos sus puntos.
Método para estudiar dos planos
Dados dos planos:
\[ \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \]
\[ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \]
comparamos sus vectores normales:
\[ \vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1), \qquad \vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2) \]
- Si los vectores normales no son proporcionales, los planos son secantes.
- Si los vectores normales son proporcionales, pueden ser paralelos o coincidentes.
- Para distinguir paralelos y coincidentes, comparamos también el término independiente \(D\).
Qué debes recordar para dos planos
Ejemplo 1: dos planos secantes
\[ \pi_1:x+y+z-1=0 \]
\[ \pi_2:2x-y+z-3=0 \]
Sus vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(1,1,1), \qquad \vec{n}_2=(2,-1,1) \]
No son proporcionales, por tanto los planos son secantes.
Se cortan en una recta.
Ejemplo 2: dos planos paralelos
\[ \pi_1:x+y+z-1=0 \]
\[ \pi_2:2x+2y+2z+3=0 \]
Sus vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(1,1,1), \qquad \vec{n}_2=(2,2,2) \]
Son proporcionales.
Pero si multiplicamos la primera ecuación por 2:
\[ 2x+2y+2z-2=0 \]
no coincide con:
\[ 2x+2y+2z+3=0 \]
Por tanto, los planos son paralelos.
Ejemplo 3: dos planos coincidentes
\[ \pi_1:x-y+2z-4=0 \]
\[ \pi_2:2x-2y+4z-8=0 \]
La segunda ecuación es el doble de la primera:
\[ \pi_2=2\pi_1 \]
Por tanto, representan el mismo plano. Los planos son coincidentes.
Espacio reservado para anuncio
Posiciones relativas de tres planos
Para estudiar tres planos, consideramos el sistema formado por sus tres ecuaciones:
\[ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \end{cases} \]
Trabajamos con la matriz de coeficientes \(A\) y la matriz ampliada \(A^*\):
\[ A= \begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\ A_2&B_2&C_2\\ A_3&B_3&C_3 \end{pmatrix} \]
\[ A^*= \begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&-D_1\\ A_2&B_2&C_2&-D_2\\ A_3&B_3&C_3&-D_3 \end{pmatrix} \]
Clasificación mediante rangos
1. Un único punto común
Si \(rg(A)=rg(A^*)=3\), el sistema tiene solución única. Los tres planos se cortan en un punto.
2. Una recta común
Si \(rg(A)=rg(A^*)=2\), el sistema tiene infinitas soluciones con un parámetro. Los tres planos comparten una recta.
3. Un mismo plano
Si \(rg(A)=rg(A^*)=1\), las ecuaciones son proporcionales y los tres planos pueden coincidir.
4. Sin puntos comunes
Si \(rg(A) < rg(A^*)\), el sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto común.
Resumen visual con rangos
- \(rg(A)=rg(A^*)=3\): se cortan en un punto.
- \(rg(A)=rg(A^*)=2\): tienen una recta común.
- \(rg(A)=rg(A^*)=1\): pueden ser planos coincidentes.
- \(rg(A) < rg(A^*)\): no hay puntos comunes.
Ejemplo 4: tres planos que se cortan en un punto
\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x-y+z=3\\ 2x+y-z=0 \end{cases} \]
La matriz de coeficientes es:
\[ A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1 \end{pmatrix} \]
Calculamos su determinante:
\[ |A|= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} \]
\[ |A|=6\neq 0 \]
Por tanto:
\[ rg(A)=rg(A^*)=3 \]
Los tres planos se cortan en un único punto.
Ejemplo 5: tres planos con una recta común
\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x-y+z=0 \end{cases} \]
El segundo plano es el doble del primero, por lo que no añade una condición nueva.
Quedan realmente dos planos independientes:
\[ x+y+z=1 \]
\[ x-y+z=0 \]
Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Por tanto:
\[ rg(A)=rg(A^*)=2 \]
Los tres planos tienen una recta común.
Ejemplo 6: tres planos sin puntos comunes
\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ x-y+z=0 \end{cases} \]
Los dos primeros planos tienen el mismo vector normal:
\[ (1,1,1) \]
pero distinto término independiente, así que son paralelos distintos.
Por tanto no pueden compartir ningún punto:
\[ rg(A) < rg(A^*) \]
El sistema es incompatible y los tres planos no tienen puntos comunes.
Cómo estudiar este tema
Para dos planos, empieza comparando vectores normales. Para tres planos, usa siempre rangos: matriz de coeficientes y matriz ampliada. El lenguaje de sistemas te da directamente la interpretación geométrica.
Resumen final
- Dos planos pueden ser secantes, paralelos o coincidentes.
- Para dos planos se comparan sus vectores normales.
- Tres planos se estudian mediante rangos.
- Si \(rg(A)=rg(A^*)=3\), hay un punto común.
- Si \(rg(A)=rg(A^*)=2\), hay una recta común.
- Si \(rg(A) < rg(A^*)\), no hay puntos comunes.