Distancias en el espacio
Aprende a calcular distancias entre puntos, rectas y planos usando vectores, producto vectorial y fórmulas métricas.
Idea básica
Las distancias en el espacio miden la separación mínima entre dos elementos geométricos. En este tema trabajaremos con puntos, rectas y planos. La clave es identificar primero qué elementos intervienen y después aplicar la fórmula adecuada.
Resumen de fórmulas
1. Distancia entre dos puntos
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]
2. Distancia de un punto a una recta
\[ d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \]
3. Distancia de un punto a un plano
\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
4. Distancia entre dos rectas
Depende de la posición relativa: si se cortan, es 0; si son paralelas, se reduce a punto-recta; si se cruzan, se usa producto mixto.
5. Distancia entre dos planos
Si son secantes o coincidentes, la distancia es 0. Si son paralelos, se calcula como distancia de un punto de un plano al otro plano.
6. Distancia entre recta y plano
Si se cortan o la recta está contenida, la distancia es 0. Si son paralelos, se calcula como distancia de un punto de la recta al plano.
Qué debes mirar antes de calcular
1. Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos:
\[ A(x_1,y_1,z_1), \qquad B(x_2,y_2,z_2) \]
la distancia entre ellos es el módulo del vector \(\overrightarrow{AB}\):
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]
Ejemplo 1
Calcula la distancia entre:
\[ A(1,2,-1), \qquad B(4,0,3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;0-2,\;3-(-1))=(3,-2,4) \]
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29} \]
2. Distancia de un punto a una recta
Sea una recta \(r\) determinada por un punto \(A\) y un vector director \(\vec{v}\). Si queremos calcular la distancia desde un punto \(P\) a la recta, usamos:
\[ d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \]
Esta fórmula mide la altura del paralelogramo formado por \(\overrightarrow{AP}\) y \(\vec{v}\).
Ejemplo 2
Calcula la distancia del punto:
\[ P(1,1,1) \]
a la recta:
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=0\\ z=0 \end{cases} \]
La recta pasa por:
\[ A(0,0,0) \]
y tiene vector director:
\[ \vec{v}=(1,0,0) \]
Calculamos: \[ \overrightarrow{AP}=(1,1,1) \]
\[ \overrightarrow{AP}\times\vec{v}= (1,1,1)\times(1,0,0)=(0,1,-1) \]
\[ |\overrightarrow{AP}\times\vec{v}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt2 \]
\[ |\vec{v}|=1 \]
Por tanto:
\[ d(P,r)=\sqrt2 \]
Espacio reservado para anuncio
3. Distancia de un punto a un plano
Sea el plano:
\[ \pi:Ax+By+Cz+D=0 \]
y el punto:
\[ P(x_0,y_0,z_0) \]
La distancia del punto al plano se calcula con:
\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
Ejemplo 3
Calcula la distancia del punto:
\[ P(1,2,3) \]
al plano:
\[ \pi:2x-y+2z-5=0 \]
Sustituimos en la fórmula:
\[ d(P,\pi)=\frac{|2\cdot1-2+2\cdot3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|2-2+6-5|}{\sqrt{4+1+4}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{1}{3} \]
4. Distancia entre dos rectas
La distancia entre dos rectas depende de su posición relativa.
Rectas secantes
Si se cortan en un punto, la distancia es: \[ d(r,s)=0 \]
Rectas paralelas
Se toma un punto de una recta y se calcula su distancia a la otra recta.
Rectas que se cruzan
Se usa el producto mixto:
\( d(r,s)= \dfrac{|[\overrightarrow{AB}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|} \)
Distancia entre rectas paralelas
Si \(r\) y \(s\) son paralelas, tomamos un punto \(P\) de una de ellas y calculamos la distancia de ese punto a la otra recta:
\[ d(r,s)=d(P,r) \]
Ejemplo 4: rectas paralelas
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=0\\ z=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=t\\ y=2\\ z=0 \end{cases} \]
Son paralelas porque tienen el mismo vector director:
\[ \vec{v}=(1,0,0) \]
Tomamos un punto de \(s\):
\[ P(0,2,0) \]
La distancia entre las rectas es la distancia de \(P\) a \(r\).
Como \(r\) es el eje \(x\), la distancia es:
\[ d(r,s)=2 \]
Distancia entre rectas que se cruzan
Sean dos rectas con puntos \(A\in r\), \(B\in s\), y vectores directores \(\vec{v}_r\) y \(\vec{v}_s\). Si las rectas se cruzan: \(d(r,s)=\dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s)|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|} \)
Ejemplo 5: rectas que se cruzan
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=0\\ z=0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x=0\\ y=1+\lambda\\ z=1 \end{cases} \]
Tomamos:
\[ A(0,0,0)\in r,\qquad B(0,1,1)\in s \]
\[ \vec{v}_r=(1,0,0),\qquad \vec{v}_s=(0,1,0) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(0,1,1) \]
Calculamos:
\[ \vec{v}_r\times\vec{v}_s=(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1) \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_s)=(0,1,1)\cdot(0,0,1)=1 \]
\[ |\vec{v}_r\times\vec{v}_s|=1 \]
Por tanto:
\[ d(r,s)=1 \]
Espacio reservado para anuncio
5. Distancia entre dos planos
Para hablar de distancia entre dos planos, primero hay que estudiar su posición relativa.
- Si los planos son secantes, se cortan en una recta y la distancia es \(0\).
- Si los planos son coincidentes, la distancia es \(0\).
- Si los planos son paralelos distintos, se calcula la distancia de un punto de un plano al otro plano.
Ejemplo 6: planos paralelos
Calcula la distancia entre:
\[ \pi_1:x+y+z-1=0 \]
\[ \pi_2:x+y+z-4=0 \]
Son paralelos porque tienen el mismo vector normal:
\[ \vec{n}=(1,1,1) \]
Tomamos un punto de \(\pi_1\). Por ejemplo:
\[ P(1,0,0) \]
Calculamos la distancia de \(P\) a \(\pi_2\):
\[ d(\pi_1,\pi_2)=d(P,\pi_2) \]
\[ d(P,\pi_2)=\frac{|1+0+0-4|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} \]
\[ d(P,\pi_2)=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3 \]
6. Distancia entre una recta y un plano
También aquí es imprescindible estudiar antes la posición relativa.
- Si la recta corta al plano, la distancia es \(0\).
- Si la recta está contenida en el plano, la distancia es \(0\).
- Si la recta es paralela al plano, se calcula la distancia de un punto de la recta al plano.
Ejemplo 7: recta paralela a un plano
\[ r: \begin{cases} x=t\\ y=1+t\\ z=2 \end{cases} \qquad \pi:x-y+2=0 \]
Tomamos un punto de la recta:
\[ P(0,1,2) \]
Calculamos la distancia de \(P\) al plano:
\[ d(r,\pi)=d(P,\pi) \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|0-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{1}{\sqrt2} \]
Cómo estudiar este tema
Antes de aplicar una fórmula, identifica la posición relativa. Muchas distancias son cero porque los elementos se cortan o están contenidos. Cuando no se cortan, normalmente se reduce el problema a calcular la distancia de un punto a una recta o de un punto a un plano.
Resumen final
- Entre dos puntos se calcula el módulo del vector que los une.
- De punto a recta se usa producto vectorial.
- De punto a plano se usa la fórmula con la ecuación general del plano.
- Entre rectas secantes la distancia es \(0\).
- Entre rectas paralelas se reduce a punto-recta.
- Entre rectas que se cruzan se usa producto mixto.
- Entre planos paralelos se reduce a punto-plano.
- Entre recta y plano paralelos se reduce a punto-plano.