Matemáticas I · Análisis · Tema 01

Funciones de variable real

Comprende qué es una función, cómo se representa, cómo se calculan imágenes y antiimágenes y cómo se transforman o combinan funciones sencillas.

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Una función relaciona dos magnitudes

Una función asigna a cada valor permitido de la variable independiente un único valor de la variable dependiente. Esta idea permite modelizar situaciones, construir gráficas e interpretar cómo cambia una magnitud.

1Reconocer una función
2Calcular imágenes y antiimágenes
3Representar, componer y transformar
01
Concepto fundamental

Qué es una función

Una función \(f\) de un conjunto \(A\) en un conjunto \(B\) es una correspondencia que asigna a cada elemento de \(A\) un único elemento de \(B\).

\[ \boxed{ f:A\longrightarrow B} \]
\[ x\longmapsto f(x) \]

Variable independiente

Es la variable \(x\). Podemos elegir sus valores dentro del dominio de la función.

Variable dependiente

Es la variable \(y\). Su valor depende del valor elegido para \(x\).

Regla de correspondencia

Indica cómo se obtiene \(f(x)\) a partir de cada valor de \(x\).

! Para que una relación sea función, cada valor de \(x\) debe tener una sola imagen. Dos valores diferentes de \(x\) sí pueden compartir la misma imagen.
02
Correspondencia entre conjuntos

Dominio, codominio y recorrido

Diagrama de correspondencia de una función Tres valores del dominio se relacionan con valores del codominio, y dos elementos pueden tener la misma imagen. Dominio A Codominio B 1 2 3 2 4 6 8 El recorrido está formado por 2, 4 y 6
El recorrido está formado únicamente por los valores del codominio que reciben alguna flecha.

Dominio

Conjunto de valores de \(x\) para los que la función está definida.

\[ \operatorname{Dom}(f) \]

Codominio

Conjunto de llegada elegido al definir la función.

\[ B \]

Recorrido o imagen

Valores que realmente toma la función.

\[ \operatorname{Im}(f) \]
i En el Tema 02 se estudiará con detalle cómo calcular el dominio de cada familia de funciones.
03
Evaluar y resolver

Imagen y antiimagen

Imagen de un valor

Para calcular la imagen de \(a\), sustituimos \(x\) por \(a\).

\[ f(a) \]

Antiimagen de un valor

Para hallar las antiimágenes de \(b\), resolvemos la ecuación:

\[ f(x)=b \]
Ejemplo 1 · Función polinómica de la biblioteca

Sea \(f(x)=x^2-5x+6\)

Imagen de \(2\):

\[ f(2)=2^2-5\cdot2+6=0 \]

Antiimágenes de \(0\):

\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ \boxed{x=2\quad\text{o}\quad x=3} \]
04
Cuatro lenguajes

Formas de representar una función

Expresión algebraica

\[ f(x)=x^2-1 \]

Tabla de valores

Organiza pares \((x,f(x))\) y permite construir puntos de la gráfica.

Gráfica

Representa todos los puntos \((x,f(x))\) en el plano cartesiano.

Descripción verbal

Explica cómo depende una magnitud de otra en una situación real.

Diagrama de flechas

Muestra visualmente la correspondencia entre dos conjuntos.

Función a trozos

Utiliza distintas expresiones según el valor de la variable.

Relación entre una tabla y la gráfica de una función Una tabla de valores de la función x al cuadrado menos uno se relaciona con puntos de una parábola. Tabla de valores x f(x) −2 3 −1 0 0 −1 1 0 2 3 f(x)=x²−1 x y
Cada fila de la tabla produce un punto de la gráfica. La curva completa contiene todos los pares \((x,f(x))\).
05
Criterio gráfico

Cómo saber si una gráfica representa una función

Una gráfica representa una función cuando cualquier recta vertical corta la gráfica como máximo una vez.

Criterio de la recta vertical Una parábola supera el criterio y una circunferencia no lo supera porque una recta vertical la corta dos veces. Sí es función No es función Una única intersección Dos intersecciones para el mismo x
La circunferencia no representa \(y=f(x)\), porque algunos valores de \(x\) tienen dos valores distintos de \(y\).
06
Distintas reglas

Funciones definidas a trozos

Una función a trozos utiliza expresiones diferentes en distintas zonas del dominio.

\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x\lt 0,\\ x^2, & x\geq 0. \end{cases} \]
Ejemplo 2 · Evaluación por tramos

Para calcular \(f(-3)\), utilizamos el primer tramo:

\[ f(-3)=-3+2=-1 \]

Para calcular \(f(2)\), utilizamos el segundo tramo:

\[ f(2)=2^2=4 \]
\[ \boxed{f(-3)=-1,\qquad f(2)=4} \]
! Antes de sustituir, comprueba siempre qué condición cumple el valor de \(x\).
07
Panorama del curso

Principales familias de funciones

Polinómicas

\[ f(x)=x^3-2x+1 \]

Se forman mediante sumas de potencias enteras no negativas.

Racionales

\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2} \]

Son cocientes de polinomios.

Radicales

\[ f(x)=\sqrt{x+3} \]

Incluyen raíces y pueden presentar restricciones.

Exponenciales

\[ f(x)=2^x \]

La variable aparece en el exponente.

Logarítmicas

\[ f(x)=\ln x \]

Son inversas de las exponenciales.

Trigonométricas

\[ f(x)=\operatorname{sen}x \]

Son periódicas y modelizan fenómenos repetitivos.

08
Mejora autorizada

Composición de funciones

Componer funciones significa aplicar primero una función y después utilizar su resultado como entrada de otra.

\[ \boxed{ (f\circ g)(x)=f(g(x))} \]
Ejemplo 3 · Composición
\[ f(x)=x^2+1, \qquad g(x)=2x-3 \]

Calculamos \(f\circ g\):

\[ \begin{aligned} (f\circ g)(x) &=f(2x-3)\\ &=(2x-3)^2+1\\ &=4x^2-12x+10 \end{aligned} \]

Calculamos \(g\circ f\):

\[ \begin{aligned} (g\circ f)(x) &=g(x^2+1)\\ &=2(x^2+1)-3\\ &=2x^2-1 \end{aligned} \]
i En general, \(f\circ g\) y \(g\circ f\) son funciones diferentes.
09
Mejora autorizada

Función inversa

La función inversa deshace el efecto de la función original. Se representa mediante \(f^{-1}\).

\[ \boxed{ f^{-1}(f(x))=x} \]
Ejemplo 4 · Inversa de una función afín
\[ f(x)=3x-2 \]

1. Escribimos \(y=3x-2\).

2. Intercambiamos \(x\) e \(y\).

\[ x=3y-2 \]

3. Despejamos \(y\).

\[ 3y=x+2 \]
\[ \boxed{ f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}} \]

Comprobación:

\[ f^{-1}(f(x)) = \frac{3x-2+2}{3} = x \]
! No todas las funciones tienen inversa en todo su dominio. Para que exista, cada valor del recorrido debe corresponder a una única entrada.
10
Mejora autorizada

Transformaciones básicas de gráficas

Subir o bajar

\[ g(x)=f(x)+k \]

Traslada la gráfica \(k\) unidades en vertical.

Derecha o izquierda

\[ g(x)=f(x-a) \]

Traslada la gráfica \(a\) unidades hacia la derecha.

Simetría respecto del eje \(x\)

\[ g(x)=-f(x) \]

Cambia el signo de todas las imágenes.

Simetría respecto del eje \(y\)

\[ g(x)=f(-x) \]

Cambia el signo de la variable independiente.

Traslaciones de una parábola Se comparan la parábola original, una traslación vertical y una traslación horizontal. f(x) f(x)+2 f(x−1)
La expresión exterior produce desplazamientos verticales y la modificación de la variable produce desplazamientos horizontales.
11
Modelización sencilla

Interpretar una función en contexto

Ejemplo 5 · Tarifa de transporte

Una empresa cobra una cuota fija de \(3\) euros y \(1,5\) euros por cada kilómetro recorrido.

\[ C(x)=3+1,5x \]

La variable \(x\) representa la distancia en kilómetros y \(C(x)\) representa el coste en euros.

Coste de un trayecto de \(8\) km:

\[ C(8)=3+1,5\cdot8=15 \]
\[ \boxed{C(8)=15\text{ euros}} \]

Interpretar una imagen

\(C(8)=15\) significa que recorrer \(8\) km cuesta \(15\) euros.

Interpretar una antiimagen

Resolver \(C(x)=15\) permite conocer qué distancia corresponde a ese coste.

12
Biblioteca de Matemáticas I

Funciones para seguir practicando

Estos ejercicios de la biblioteca permiten reconocer familias y preparar el siguiente tema, dedicado al cálculo del dominio.

Función polinómica \(f(x)=x^2-5x+6\) Reconoce la familia, evalúa valores y observa que está definida para cualquier número real. Resolver en la biblioteca → Función exponencial \(f(x)=e^{2x-3}\) Identifica una función exponencial y prepara el estudio de su dominio y recorrido. Resolver en la biblioteca → Bloque Análisis Biblioteca completa de Matemáticas I Filtra por dominios, límites, derivadas y aplicaciones del cálculo. Abrir la biblioteca →
Qué debes recordar

Una entrada debe tener una única salida

Las funciones pueden describirse mediante fórmulas, tablas, gráficas, diagramas o textos. Evaluar una función significa calcular una imagen; buscar una antiimagen significa resolver una ecuación.

Función Cada valor del dominio tiene una única imagen.
Imagen Se calcula sustituyendo en \(f(x)\).
Composición Una función se aplica dentro de otra.
Inversa Deshace la transformación de la función original.

Errores frecuentes

Confundir imagen y antiimagen La imagen se calcula sustituyendo; la antiimagen se obtiene resolviendo una ecuación.
Evaluar mal una función a trozos Antes de sustituir hay que comprobar qué condición cumple el valor de \(x\).
Suponer que toda función tiene inversa Una misma imagen no puede corresponder a dos entradas distintas dentro del dominio considerado.

Resumen del tema

Una función asigna a cada valor de entrada una única salida. Puede representarse de distintas formas y estudiarse mediante imágenes, antiimágenes, composición, inversa y transformaciones de su gráfica.

Debes saber

  • Reconocer si una relación es función.
  • Distinguir dominio, codominio y recorrido.
  • Calcular imágenes y antiimágenes.
  • Evaluar funciones a trozos.
  • Componer funciones sencillas.
  • Calcular la inversa de una función afín.
  • Interpretar transformaciones básicas.
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