Matemáticas I · Análisis · Tema 06

Concepto y cálculo de derivadas

Comprende la derivada como tasa de variación instantánea y aprende a calcularla mediante la definición y las reglas de derivación.

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La derivada mide cómo cambia una función

Primero estudiaremos el cambio medio en un intervalo. Después haremos que el intervalo sea cada vez más pequeño para obtener la variación instantánea y la pendiente de la recta tangente.

1Calcular la tasa de variación media
2Interpretar la definición de derivada
3Aplicar reglas de derivación
01
Cambio en un intervalo

Tasa de variación media

La tasa de variación media de \(f\) en el intervalo \([a,b]\) mide el cambio medio de la función por cada unidad que cambia \(x\).

\[ \boxed{ \operatorname{TVM}_{[a,b]}= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \]
Ejemplo 1
\[ f(x)=x^2-2x, \qquad [a,b]=[1,3] \]
\[ f(1)=-1, \qquad f(3)=3 \]
\[ \operatorname{TVM}_{[1,3]} = \frac{3-(-1)}{3-1} = \frac42 \]
\[ \boxed{\operatorname{TVM}_{[1,3]}=2} \]
02
Interpretación geométrica

De la recta secante a la tangente

Recta secante aproximándose a la tangente Una curva contiene los puntos A y B. Al acercarse B a A, la secante se aproxima a la tangente. A B secante tangente en A
La TVM es la pendiente de la secante. Al acercar \(B\) a \(A\), la pendiente se aproxima a la derivada.
03
Variación instantánea

Derivada en un punto

\[ \boxed{ f'(a)= \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}} \]

Si el límite existe y es finito, \(f'(a)\) representa la tasa de variación instantánea y la pendiente de la tangente en \(x=a\).

Ejemplo 2 · Derivada por definición
\[ f(x)=x^2 \]
\[ f'(a)= \lim_{h\to0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h} \]
\[ = \lim_{h\to0} \frac{2ah+h^2}{h} = \lim_{h\to0}(2a+h) \]
\[ \boxed{f'(a)=2a} \]

Por ejemplo:

\[ f'(2)=4 \]
04
Una nueva función

Función derivada

Si calculamos la derivada para cada valor del dominio donde existe, obtenemos la función derivada.

\[ f(x)=x^2 \Longrightarrow f'(x)=2x \]

Derivada positiva

\[ f'(x)\gt0 \]

La función crece en ese intervalo.

Derivada negativa

\[ f'(x)\lt0 \]

La función decrece en ese intervalo.

Derivada nula

\[ f'(x)=0 \]

La tangente es horizontal en ese punto.

05
Tabla fundamental

Derivadas elementales

Función Derivada
\(k\)\(0\)
\(x\)\(1\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\)\(\dfrac1{2\sqrt{x}}\)
\(\dfrac1x\)\(-\dfrac1{x^2}\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(a^x\)\(a^x\ln a\)
\(\ln x\)\(\dfrac1x\)
\(\operatorname{sen}x\)\(\cos x\)
\(\cos x\)\(-\operatorname{sen}x\)
\(\tan x\)\(\dfrac1{\cos^2x}\)
06
Operaciones con funciones

Reglas de derivación

Suma y resta

\[ (f\pm g)'=f'\pm g' \]

Producto

\[ (fg)'=f'g+fg' \]

Cociente

\[ \left(\frac fg\right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2} \]

Potencia compuesta

\[ [g(x)]^n{}'= n[g(x)]^{n-1}g'(x) \]

Exponencial compuesta

\[ [e^{g(x)}]'= e^{g(x)}g'(x) \]

Logaritmo compuesto

\[ [\ln(g(x))]'= \frac{g'(x)}{g(x)} \]
! En una función compuesta se deriva la función exterior y se multiplica por la derivada de la función interior.
07
Aplicación de reglas

Ejemplos resueltos

Ejemplo 3 · Polinomio
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7x-2 \]
\[ \boxed{ f'(x)=12x^3-10x+7} \]
Ejemplo 4 · Cociente
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \]
\[ f'(x)= \frac{2x(x-1)-(x^2+1)} {(x-1)^2} \]
\[ \boxed{ f'(x)= \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}} \]
Ejemplo 5 · Regla de la cadena
\[ f(x)=(3x^2-1)^5 \]
\[ f'(x)= 5(3x^2-1)^4\cdot6x \]
\[ \boxed{ f'(x)=30x(3x^2-1)^4} \]
08
Ejemplo adaptado de la biblioteca PAU

Función \(x\ln x\)

Deriva la función:

\[ f(x)=x\ln x \]

Aplicamos la regla del producto:

\[ f'(x)= 1\cdot\ln x+ x\cdot\frac1x \]
\[ \boxed{f'(x)=\ln x+1} \]
Para seguir practicando:

La biblioteca de Análisis reúne ejercicios de derivadas polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y compuestas.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
09
Guion de resolución

Cómo derivar con orden

1Reconoce la estructuraDecide si hay suma, producto, cociente o composición.
2Elige la reglaEscribe la fórmula antes de sustituir.
3Deriva cada parteNo olvides la función interior.
4SimplificaOrdena el resultado y conserva el dominio necesario.
Qué debes recordar

La definición explica el significado; las reglas agilizan el cálculo

La derivada es una tasa de cambio instantánea y una pendiente. Las reglas de derivación permiten calcularla sin repetir cada vez el límite de la definición.

TVMPendiente de una secante.
DerivadaPendiente de la tangente.
Producto\(f'g+fg'\).
CadenaDeriva fuera y multiplica por dentro.

Errores frecuentes

Derivar un producto multiplicando derivadasLa regla correcta es \(f'g+fg'\).
Olvidar la regla de la cadenaDebe multiplicarse por la derivada de la función interior.
Confundir \(f'(a)\) con \(f(a)\)Uno es una pendiente y el otro una coordenada vertical.

Resumen del tema

La derivada mide la variación instantánea de una función. Puede obtenerse mediante un límite y calcularse con las reglas de las funciones elementales, el producto, el cociente y la cadena.

Debes saber

  • Calcular la TVM.
  • Usar la definición de derivada.
  • Derivar funciones elementales.
  • Aplicar producto y cociente.
  • Aplicar la regla de la cadena.

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