Matemáticas I · Análisis · Tema 05

Continuidad

Aprende a decidir si una función es continua, clasificar discontinuidades y ajustar parámetros en funciones definidas a trozos.

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Continuidad significa que no hay ruptura en el comportamiento

Una función es continua en un punto cuando está definida, tiene límite y ese límite coincide con el valor de la función. En funciones a trozos, los puntos de cambio son los lugares que deben revisarse con especial atención.

1Comprobar las tres condiciones
2Clasificar discontinuidades
3Determinar parámetros
01
Definición

Continuidad en un punto

Una función \(f\) es continua en \(x=a\) cuando se cumplen simultáneamente estas tres condiciones.

1. Existe el valor

\[ f(a)\text{ existe} \]

2. Existe el límite

\[ \lim_{x\to a}f(x)\text{ existe} \]

3. Coinciden

\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \]
\[ \boxed{ f\text{ continua en }a \Longleftrightarrow \lim_{x\to a}f(x)=f(a)} \]
02
Interpretación gráfica

Una gráfica sin ruptura en el punto

Función continua en un punto Una curva pasa por el punto a coma f de a sin saltos ni huecos. a f(a) límite y valor coinciden
La curva se aproxima al mismo valor desde ambos lados y además pasa por el punto \((a,f(a))\).
03
Continuidad global

Continuidad en intervalos

Intervalo abierto

La función debe ser continua en cada punto interior.

\[ (a,b) \]

Intervalo cerrado

Además se exige continuidad lateral en los extremos.

\[ [a,b] \]
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) \]
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) \]
04
Regla práctica

Funciones elementales

Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio.

Polinómicas

Continuas en todo \(\mathbb R\).

Racionales

Continuas donde el denominador no se anula.

Radicales

Continuas en los puntos de su dominio.

Exponenciales

Continuas en todo \(\mathbb R\).

Logarítmicas

Continuas donde el argumento es positivo.

Trigonométricas

Continuas en los puntos donde están definidas.

i En estas funciones, comprobar que \(a\) pertenece al dominio suele ser suficiente para calcular el límite mediante sustitución directa.
05
Clasificación

Tipos de discontinuidad

Evitable

El límite existe y es finito, pero el valor no existe o es diferente.

\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]

De salto finito

Los límites laterales existen y son finitos, pero son distintos.

\[ L_-\neq L_+ \]

Infinita

Al menos uno de los límites laterales es infinito.

\[ \lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty \]
Tres tipos de discontinuidad Tres paneles representan una discontinuidad evitable, un salto finito y una discontinuidad infinita. Evitable Salto Infinita
La clasificación depende de los límites laterales y del valor de la función en el punto.
06
Hueco que puede repararse

Discontinuidad evitable

Ejemplo 1
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

La función no está definida en \(x=1\), pero:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = x+1, \qquad x\neq1 \]
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2 \]
\[ \boxed{ \text{La discontinuidad se elimina definiendo }f(1)=2} \]
07
Laterales distintos

Discontinuidad de salto finito

Ejemplo 2
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x\lt2,\\ 5-x, & x\geq2. \end{cases} \]
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=3 \]
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=3 \]

En este caso los laterales coinciden y \(f(2)=3\), por lo que la función sí es continua. Para ver un salto, modificamos el segundo tramo:

\[ g(x)= \begin{cases} x+1, & x\lt2,\\ 6-x, & x\geq2. \end{cases} \]
\[ \lim_{x\to2^-}g(x)=3, \qquad \lim_{x\to2^+}g(x)=4 \]
\[ \boxed{ g\text{ presenta un salto finito en }x=2} \]
08
Asíntota vertical

Discontinuidad infinita

Ejemplo 3
\[ f(x)=\frac1{x-1} \]
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \]
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty \]
\[ \boxed{ x=1\text{ es una discontinuidad infinita}} \]
09
Ejercicio fundamental

Determinar un parámetro para que haya continuidad

Ejemplo 4 · Función a trozos
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+a, & x\lt2,\\ 3x-1, & x\geq2. \end{cases} \]

1. Límite por la izquierda.

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=4+a \]

2. Límite por la derecha y valor de la función.

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=3\cdot2-1=5 \]

3. Igualamos para imponer continuidad.

\[ 4+a=5 \]
\[ \boxed{a=1} \]
10
Teorema de existencia

Teorema de Bolzano

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y toma valores de signos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto \(c\) del intervalo abierto \((a,b)\) en el que la función se anula.

\[ \boxed{ f(a)\,f(b)\lt0 \Longrightarrow \exists c\in(a,b) \text{ tal que }f(c)=0} \]
Ejemplo 5 · Existencia de una raíz
\[ f(x)=x^3-x-1 \]

La función es polinómica, por tanto continua en \([1,2]\).

\[ f(1)=1-1-1=-1 \]
\[ f(2)=8-2-1=5 \]
\[ f(1)\,f(2)=-5\lt0 \]
\[ \boxed{ \exists c\in(1,2) \text{ tal que }f(c)=0} \]
Interpretación gráfica del teorema de Bolzano Una curva continua pasa de un valor negativo a uno positivo y corta el eje horizontal entre los extremos. a c b f(a) negativa f(b) positiva
Una curva continua que cambia de signo debe cortar el eje \(x\) al menos una vez.
! Bolzano garantiza que existe una raíz, pero no indica cuántas hay ni cuál es su valor exacto.
11
Guion de resolución

Cómo estudiar la continuidad

1 Calcula el dominio Localiza los puntos donde la función puede dejar de estar definida.
2 Busca puntos de cambio En funciones a trozos, revisa cada frontera.
3 Calcula laterales y valor Compara los dos límites y \(f(a)\).
4 Concluye y clasifica Indica si es continua o qué discontinuidad presenta.
12
Biblioteca de Análisis

Problemas relacionados

Práctica recomendada:

En la biblioteca puedes localizar ejercicios de límites laterales, funciones a trozos, parámetros y estudio de discontinuidades. Son los modelos que preparan el trabajo posterior de derivabilidad.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

Valor, límite y coincidencia

Para que una función sea continua en un punto debe estar definida, debe existir el límite y ambos valores deben coincidir.

EvitableEl límite finito puede recuperarse redefiniendo el valor.
SaltoLos límites laterales son distintos.
InfinitaAlgún límite lateral es infinito.
BolzanoContinuidad y cambio de signo garantizan una raíz.

Errores frecuentes

Comprobar solo que existe el límite También debe existir \(f(a)\) y coincidir con él.
No calcular límites laterales Son imprescindibles en funciones a trozos y puntos conflictivos.
Aplicar Bolzano sin continuidad El cambio de signo no basta si la función no es continua en el intervalo.

Resumen del tema

La continuidad compara el valor de una función con su comportamiento próximo. Su estudio permite detectar huecos, saltos y comportamientos infinitos, además de ajustar parámetros y garantizar raíces.

Debes saber

  • Comprobar las tres condiciones.
  • Estudiar continuidad lateral.
  • Clasificar discontinuidades.
  • Analizar funciones a trozos.
  • Determinar parámetros.
  • Aplicar el teorema de Bolzano.
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