Matemáticas I · Análisis · Tema 07

Derivabilidad de funciones

Aprende a decidir cuándo una función tiene una pendiente única, relaciona derivabilidad y continuidad y estudia puntos angulosos y funciones a trozos.

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Ser continua no garantiza tener una única pendiente

Una función es derivable cuando la pendiente de la tangente está bien definida. En puntos de cambio, valores absolutos o funciones a trozos hay que comparar las derivadas laterales.

1Calcular derivadas laterales
2Relacionar continuidad y derivabilidad
3Ajustar funciones a trozos
01
Definición

Derivabilidad en un punto

Una función es derivable en \(x=a\) si existe y es finito el límite que define su derivada:

\[ \boxed{ f'(a)= \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}h} \]

Geométricamente, debe existir una única recta tangente con pendiente real.

02
Estudio por ambos lados

Derivadas laterales

Por la izquierda

\[ f'_-(a)= \lim_{h\to0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}h \]

Por la derecha

\[ f'_+(a)= \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}h \]
\[ \boxed{ f\text{ derivable en }a \Longleftrightarrow f'_-(a)=f'_+(a)\in\mathbb R} \]
03
Relación fundamental

Continuidad y derivabilidad

\[ \boxed{ f\text{ derivable en }a \Longrightarrow f\text{ continua en }a} \]

La implicación contraria no es cierta:

\[ f\text{ continua en }a \centernot\Longrightarrow f\text{ derivable en }a \]
! Si una función no es continua en un punto, podemos concluir directamente que tampoco es derivable allí.
04
Puntos conflictivos

Cuándo puede no existir la derivada

Discontinuidad

Sin continuidad no puede haber derivabilidad.

Punto anguloso

Las pendientes laterales son finitas, pero diferentes.

Pendiente no finita

La tangente puede ser vertical y la derivada usual no es un número real.

Punto anguloso de una función valor absoluto Dos segmentos se unen formando un ángulo en x igual a dos. x = 2 pendiente −1 pendiente 1
La función es continua en el vértice, pero las pendientes laterales no coinciden.
05
Ejemplo de la biblioteca

Derivabilidad de \(f(x)=|x-2|\)

\[ f(x)= \begin{cases} 2-x, & x\lt2,\\ x-2, & x\geq2. \end{cases} \]

La función es continua en \(x=2\).

Derivada por la izquierda:

\[ f'_-(2)=-1 \]

Derivada por la derecha:

\[ f'_+(2)=1 \]
\[ \boxed{ f'_-(2)\neq f'_+(2) \Longrightarrow f\text{ no es derivable en }x=2} \]
06
Dos comprobaciones

Funciones definidas a trozos

Para que una función a trozos sea derivable en un punto de cambio debe ser primero continua y después tener derivadas laterales iguales.

1ContinuidadIguala límite por la izquierda, límite por la derecha y valor.
2Derivadas lateralesDeriva cada expresión en su lado correspondiente.
3IgualdadImpón \(f'_-(a)=f'_+(a)\).
4ConclusiónResuelve los parámetros y comprueba ambas condiciones.
07
Ejemplo resuelto

Determinar parámetros para que sea derivable

\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\lt1,\\ ax+b, & x\geq1. \end{cases} \]

1. Continuidad en \(x=1\).

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1 \]
\[ f(1)=a+b \]
\[ a+b=1 \]

2. Igualdad de derivadas laterales.

\[ f'_-(1)=2, \qquad f'_+(1)=a \]
\[ a=2 \]

3. Sustituimos en la condición de continuidad.

\[ 2+b=1 \]
\[ \boxed{a=2,\qquad b=-1} \]
08
Derivabilidad global

Derivabilidad en un intervalo

Una función es derivable en un intervalo abierto si lo es en todos sus puntos interiores.

\[ f\text{ derivable en }(a,b) \]

En un intervalo cerrado se estudian derivadas laterales en los extremos:

\[ f'_+(a) \qquad\text{y}\qquad f'_-(b) \]
09
Biblioteca de Análisis

Practica derivabilidad lateral

Modelos recomendados:

Practica valores absolutos, funciones a trozos y determinación de parámetros. Son los ejercicios esenciales para distinguir continuidad y derivabilidad.

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Qué debes recordar

Primero continuidad; después igualdad de pendientes

Toda función derivable es continua, pero una función continua puede tener un punto anguloso y no ser derivable.

ContinuidadEs necesaria para derivar.
LateralesDeben existir, ser finitas y coincidir.
ÁnguloPendientes laterales diferentes.
TrozoComprueba valor y pendientes.

Errores frecuentes

Igualar derivadas sin comprobar continuidadLa continuidad debe estudiarse antes.
Suponer que continua implica derivableEl valor absoluto es el contraejemplo básico.
Usar la expresión equivocada en un lateralCada lado utiliza el tramo correspondiente.

Resumen del tema

La derivabilidad exige una pendiente real y única. Para estudiarla en un punto conflictivo se comprueba la continuidad y se comparan las derivadas laterales.

Debes saber

  • Calcular derivadas laterales.
  • Usar derivable implica continua.
  • Reconocer puntos angulosos.
  • Estudiar valores absolutos.
  • Determinar parámetros en funciones a trozos.

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