Matemáticas I · Análisis · Tema 02

Dominio de una función

Aprende a determinar para qué valores de la variable está definida una función y a expresar el resultado mediante intervalos y conjuntos.

Comenzar el tema Volver al bloque

Antes de estudiar una función, hay que saber dónde existe

El dominio reúne todos los valores reales de \(x\) para los que la expresión de la función tiene sentido. Las restricciones suelen proceder de denominadores, raíces de índice par y logaritmos.

1Reconocer restricciones
2Resolver inecuaciones
3Expresar el dominio con intervalos
01
Definición

Qué es el dominio

El dominio de una función \(f\) es el conjunto de valores de \(x\) para los que existe \(f(x)\).

\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= \{x\in\mathbb R:\ f(x)\text{ está definida}\}} \]
i Cuando no se indica otro conjunto de partida, buscamos el dominio natural: el mayor subconjunto de \(\mathbb R\) en el que la expresión tiene sentido.
02
Restricciones fundamentales

Reglas según la familia de funciones

Funciones polinómicas

Están definidas para cualquier número real.

\[ \operatorname{Dom}(f)=\mathbb R \]

Funciones racionales

El denominador no puede anularse.

\[ Q(x)\neq0 \]

Raíz de índice par

El radicando debe ser no negativo.

\[ R(x)\geq0 \]

Raíz de índice impar

La raíz existe para cualquier radicando real.

\[ \sqrt[3]{R(x)} \]

Función logarítmica

El argumento del logaritmo debe ser positivo.

\[ L(x)\gt0 \]

Función exponencial

Una exponencial de base positiva está definida en todo \(\mathbb R\).

\[ a^x,\qquad a\gt0 \]
03
Procedimiento general

Cómo calcular un dominio

1 Identifica la familia Observa si hay cocientes, raíces, logaritmos o composiciones.
2 Escribe restricciones Denominadores distintos de cero, radicandos no negativos y argumentos positivos.
3 Resuelve Calcula ecuaciones o inecuaciones y combina todas las condiciones.
4 Expresa el resultado Utiliza intervalos, unión de intervalos o diferencia de conjuntos.
04
Sin restricciones

Dominio de una función polinómica

Ejemplo 1 · Función de la biblioteca
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

La expresión solo contiene sumas, restas, productos y potencias enteras no negativas. Ningún valor real produce una operación imposible.

\[ \boxed{\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R} \]
05
Excluir ceros del denominador

Dominio de una función racional

Ejemplo 2
\[ f(x)=\frac{x+1}{x^2-5x+6} \]

1. Factorizamos el denominador.

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

2. Excluimos sus ceros.

\[ x\neq2,\qquad x\neq3 \]
\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= \mathbb R\setminus\{2,3\}} \]
Dominio de una función racional con dos valores excluidos Recta real completa salvo los puntos dos y tres, que aparecen abiertos. 2 3 Todos los reales excepto 2 y 3
Los puntos abiertos representan valores que no pertenecen al dominio.
06
Raíz cuadrada

Radicando lineal

Ejemplo 3
\[ f(x)=\sqrt{2x-6} \]

1. El radicando debe ser no negativo.

\[ 2x-6\geq0 \]

2. Resolvemos la inecuación.

\[ 2x\geq6 \Longrightarrow x\geq3 \]
\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)=[3,+\infty)} \]
07
Tabla de signos

Raíz de una expresión racional

Ejemplo 4
\[ f(x)= \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \]

1. Planteamos la condición.

\[ \frac{x-1}{x+2}\geq0 \]

Los puntos que separan los intervalos son \(x=-2\), que anula el denominador, y \(x=1\), que anula el numerador.

Intervalo \((-\infty,-2)\) \((-2,1)\) \((1,+\infty)\)
Signo del cociente Positivo Negativo Positivo
¿Se admite? Sí No Sí

El valor \(x=1\) se incluye porque hace cero el radicando. El valor \(x=-2\) se excluye porque anula el denominador.

\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= (-\infty,-2)\cup[1,+\infty)} \]
Representación del dominio de una raíz racional Se admiten los valores menores que menos dos y los valores desde uno incluido. −2 1 admitido no admitido admitido
El punto \(-2\) es abierto y el punto \(1\) es cerrado.
08
Argumento positivo

Dominio de una función logarítmica

Ejemplo 5
\[ f(x)= \ln\left( \frac{x-1}{x+2} \right) \]

1. El argumento debe ser estrictamente positivo.

\[ \frac{x-1}{x+2}\gt0 \]

La tabla de signos es la misma que en el ejemplo anterior, pero ahora el valor \(x=1\) tampoco se admite porque el logaritmo de cero no existe.

\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= (-\infty,-2)\cup(1,+\infty)} \]
09
Varias restricciones

Funciones combinadas

Ejemplo 6
\[ f(x)= \frac{\sqrt{x+1}}{x-2} \]

Condición de la raíz:

\[ x+1\geq0 \Longrightarrow x\geq-1 \]

Condición del denominador:

\[ x-2\neq0 \Longrightarrow x\neq2 \]

Intersección de ambas condiciones:

\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= [-1,2)\cup(2,+\infty)} \]
10
Conexión con el Tema 01

Dominio de una composición

Para que exista \((f\circ g)(x)=f(g(x))\), deben cumplirse dos condiciones:

\[ x\in\operatorname{Dom}(g) \]
\[ g(x)\in\operatorname{Dom}(f) \]
Ejemplo 7
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=3-2x \]
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{3-2x} \]
\[ 3-2x\geq0 \]
\[ -2x\geq-3 \Longrightarrow x\leq\frac32 \]
\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \left(-\infty,\frac32\right]} \]
11
Unión de tramos válidos

Dominio de una función definida a trozos

Ejemplo 8
\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+2}, & x\lt1,\\ \dfrac{1}{x-3}, & x\geq1. \end{cases} \]

Primer tramo:

\[ x+2\geq0 \quad\text{y}\quad x\lt1 \]
\[ -2\leq x\lt1 \]

Segundo tramo:

\[ x\geq1 \quad\text{y}\quad x\neq3 \]

Unimos los dos conjuntos:

\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= [-2,3)\cup(3,+\infty)} \]
12
Consulta rápida

Tabla resumen

Tipo de expresión Condición para el dominio
Polinomio Todos los números reales
Cociente Denominador distinto de cero
Raíz de índice par Radicando no negativo
Raíz de índice impar Sin restricción por la raíz
Logaritmo Argumento estrictamente positivo
Composición La entrada debe pertenecer al dominio interior y su imagen al exterior
13
Biblioteca de Matemáticas I

Ejercicios relacionados

Dominio polinómico \(f(x)=x^2-5x+6\) Comprueba por qué una función polinómica está definida en todo \(\mathbb R\). Resolver en la biblioteca → Dominio exponencial \(f(x)=e^{2x-3}\) Analiza una exponencial con exponente lineal y compara sus restricciones con otras familias. Resolver en la biblioteca → Bloque Análisis Más ejercicios de dominio Practica funciones racionales, radicales, logarítmicas y combinadas. Abrir la biblioteca →
Qué debes recordar

El dominio se obtiene reuniendo todas las restricciones

Los denominadores no pueden anularse, las raíces de índice par necesitan radicandos no negativos y los logaritmos necesitan argumentos positivos.

Polinomios Dominio igual a \(\mathbb R\).
Cocientes Se excluyen los ceros del denominador.
Raíces pares El radicando debe ser no negativo.
Logaritmos El argumento debe ser positivo.

Errores frecuentes

Permitir un cero en un denominador Aunque aparezca dentro de una raíz, un denominador nunca puede ser cero.
Usar la misma condición en raíz y logaritmo Una raíz par admite radicando cero; un logaritmo exige argumento positivo.
No intersectar las restricciones En funciones combinadas deben cumplirse simultáneamente todas las condiciones.

Resumen del tema

Calcular el dominio consiste en localizar las operaciones que pueden dejar de tener sentido, escribir sus condiciones y resolverlas conjuntamente.

Debes saber

  • Reconocer las familias de funciones.
  • Excluir ceros del denominador.
  • Resolver condiciones de raíces y logaritmos.
  • Utilizar tablas de signos.
  • Combinar varias restricciones.
  • Expresar dominios mediante intervalos.
Scroll al inicio