Matemáticas I · Análisis · Tema 03

Límites de funciones

Comprende qué valor sigue una función al acercarnos a un punto o al infinito y aprende a calcular límites mediante procedimientos algebraicos.

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El límite describe el comportamiento cercano

El límite de una función en un punto no pregunta necesariamente cuánto vale la función en ese punto, sino hacia qué valor se acercan sus imágenes cuando \(x\) se aproxima al valor indicado.

1Interpretar límites gráficamente
2Calcular límites laterales
3Resolver indeterminaciones algebraicas
01
Idea intuitiva

Límite de una función en un punto

\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=L} \]

Esta expresión significa que los valores de \(f(x)\) se aproximan a \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(a\).

i El límite depende del comportamiento de la función alrededor del punto. Puede existir aunque \(f(a)\) no exista o aunque \(f(a)\) sea diferente de \(L\).
02
Límite y valor de la función

Un límite puede ser distinto de \(f(a)\)

Función con límite dos y valor cinco en x igual a uno Una recta tiene un punto abierto en uno coma dos y un punto cerrado en uno coma cinco. a = 1 L = 2 f(1) = 5 La gráfica se aproxima al punto abierto
La función se aproxima a \(2\) cuando \(x\) se acerca a \(1\), aunque el valor asignado en \(x=1\) sea \(5\).
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2 \qquad\text{y}\qquad f(1)=5 \]
03
Acercamiento por ambos lados

Límites laterales

Límite por la izquierda

\[ \lim_{x\to a^-}f(x) \]

Estudia valores de \(x\) menores que \(a\).

Límite por la derecha

\[ \lim_{x\to a^+}f(x) \]

Estudia valores de \(x\) mayores que \(a\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f(x)=L \Longleftrightarrow \lim_{x\to a^-}f(x)= \lim_{x\to a^+}f(x)=L} \]
! Si los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe.
04
Funciones a trozos

Ejemplo de límites laterales distintos

Ejemplo 1
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x\lt1,\\ 3, & x=1,\\ x+3, & x\gt1. \end{cases} \]

Por la izquierda:

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2 \]

Por la derecha:

\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(x+3) = 4 \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to1}f(x) \text{ no existe}} \]
05
Situaciones principales

Tipos de límites

Límite finito en un punto

\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]

La función se aproxima a un número real.

Límite infinito en un punto

\[ \lim_{x\to a}f(x)=+\infty \]

Los valores crecen sin cota al acercarnos a \(a\).

Límite en el infinito

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]

Estudia el comportamiento para valores muy grandes de \(x\).

06
Álgebra de límites

Operaciones básicas

Si los límites de \(f(x)\) y \(g(x)\) existen y son finitos, se pueden realizar las operaciones habituales:

Suma

\[ \lim(f+g)=\lim f+\lim g \]

Producto

\[ \lim(fg)=(\lim f)(\lim g) \]

Cociente

\[ \lim\frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g} \]

Siempre que el límite del denominador no sea cero.

Composición

\[ \lim h(f(x))=h(\lim f(x)) \]

Cuando \(h\) es continua en el valor límite.

07
Primer intento

Sustitución directa

En polinomios y otras funciones continuas, el límite se obtiene sustituyendo directamente el valor.

Ejemplo 2
\[ \lim_{x\to2}(x^2+1) \]
\[ 2^2+1=5 \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to2}(x^2+1)=5} \]
08
No son resultados

Indeterminaciones

Una indeterminación indica que la sustitución directa no decide el límite. Es necesario transformar la expresión.

Indeterminación Procedimiento habitual en 1.º de Bachillerato
\(\dfrac00\) Factorizar, simplificar, obtener común denominador o racionalizar
\(\dfrac{\infty}{\infty}\) Comparar grados o dividir entre la mayor potencia de \(x\)
\(\infty-\infty\) Unificar expresiones o multiplicar por el conjugado
! En Matemáticas I estos límites se resolverán mediante procedimientos algebraicos. No utilizaremos la regla de L’Hôpital.
09
Indeterminación \(\frac00\)

Resolución mediante factorización

Ejemplo 3
\[ \lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2} \]

1. La sustitución produce una indeterminación.

\[ \frac{2^2-4}{2-2} = \frac00 \]

2. Factorizamos la diferencia de cuadrados.

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]

3. Simplificamos para valores próximos a \(2\).

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]

4. Calculamos el límite de la expresión simplificada.

\[ \boxed{ \lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4} \]
10
Expresiones con radicales

Resolución mediante el conjugado

Ejemplo 4
\[ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \]

1. La sustitución produce \(\frac00\).

2. Multiplicamos por el conjugado.

\[ \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} \]
\[ = \frac{x+4-4} {x(\sqrt{x+4}+2)} \]
\[ = \frac{x} {x(\sqrt{x+4}+2)} \]
\[ = \frac1{\sqrt{x+4}+2} \]

3. Sustituimos en la expresión simplificada.

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \frac14} \]
11
Cocientes de polinomios

Límites cuando \(x\) tiende a infinito

En un cociente de polinomios, el comportamiento depende de los términos de mayor grado.

Comparación de grados Resultado
Grado del numerador menor El límite es \(0\)
Grados iguales Cociente de los coeficientes principales
Grado del numerador mayor El límite es infinito o no acotado según los signos
Ejemplo 5 · Grados iguales
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} \]

Dividimos numerador y denominador entre \(x^2\):

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{ 3-\frac1x+\frac1{x^2} }{ 2+\frac5{x^2} } \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac32} \]
12
Crecimiento sin cota

Límite infinito en un punto

Ejemplo 6
\[ \lim_{x\to2} \frac1{(x-2)^2} \]

El denominador es positivo a ambos lados de \(2\) y se aproxima a cero. Por tanto, el cociente crece sin cota:

\[ \boxed{ \lim_{x\to2} \frac1{(x-2)^2} = +\infty} \]
Función uno dividido entre x menos dos al cuadrado Dos ramas positivas crecen sin cota a ambos lados de x igual a dos. x = 2 f(x) crece f(x) crece
A ambos lados de \(x=2\), la función toma valores positivos cada vez mayores.
13
Guion de resolución

Cómo abordar un límite

1 Sustituye Comprueba si aparece un número, un infinito o una indeterminación.
2 Clasifica Identifica si es \(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\) u otra forma.
3 Transforma Factoriza, racionaliza, simplifica o divide entre una potencia.
4 Vuelve a calcular Aplica el límite a la expresión equivalente y comprueba el resultado.
14
Biblioteca de Matemáticas I

Practica límites por métodos

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Análisis puedes localizar ejercicios de sustitución, factorización, racionalización, comparación de grados y límites laterales. Conviene practicar agrupando los problemas por método.

Abrir la biblioteca de Análisis →
Qué debes recordar

Una indeterminación no es el resultado del límite

Primero sustituimos. Si aparece una indeterminación, transformamos la expresión mediante álgebra y volvemos a calcular.

Límite Describe el comportamiento cercano.
Laterales Deben coincidir para que exista el límite.
\(\frac00\) Factoriza, simplifica o racionaliza.
Infinito Compara términos dominantes.

Errores frecuentes

Confundir límite y valor de la función El límite estudia lo que ocurre alrededor del punto, no solo en él.
Escribir \(\frac00\) como respuesta Es una indeterminación que obliga a transformar la expresión.
No estudiar los laterales En funciones a trozos o cerca de denominadores nulos, son imprescindibles.

Resumen del tema

Los límites describen cómo se comporta una función al aproximarse a un punto o al infinito. Se calculan mediante sustitución y, cuando aparecen indeterminaciones, mediante transformaciones algebraicas.

Debes saber

  • Interpretar la notación de límite.
  • Calcular límites laterales.
  • Distinguir límite y valor de la función.
  • Resolver \(\frac00\) por factorización.
  • Racionalizar expresiones con radicales.
  • Comparar grados en el infinito.
  • Reconocer límites infinitos.
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