Matemáticas I · Análisis · Tema 08

Interpretación geométrica y recta tangente

Utiliza la derivada como pendiente para calcular rectas tangentes y normales y resolver condiciones sencillas de paralelismo y tangencia.

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La derivada convierte una curva en una pendiente local

En cada punto derivable, la curva tiene una recta tangente cuya pendiente es \(f'(a)\). A partir de esa pendiente también puede calcularse la recta normal.

1Interpretar \(f'(a)\) como pendiente
2Calcular tangente y normal
3Resolver condiciones de tangencia
01
Significado geométrico

La derivada como pendiente

\[ \boxed{ m_{\text{tangente}}=f'(a)} \]

El punto de tangencia es:

\[ P(a,f(a)) \]
Recta tangente a una curva Una recta toca a una curva en el punto P y comparte su pendiente local. P(a,f(a)) pendiente f'(a)
La tangente comparte con la curva la dirección instantánea en el punto.
02
Ecuación punto-pendiente

Recta tangente

\[ \boxed{ y-f(a)=f'(a)(x-a)} \]
1Calcula el puntoObtén \(f(a)\).
2DerivaCalcula \(f'(x)\).
3Obtén la pendienteEvalúa \(f'(a)\).
4Escribe la rectaUsa la ecuación punto-pendiente.
03
Recta perpendicular

Recta normal

Si la pendiente de la tangente es distinta de cero, la pendiente de la normal es la recíproca opuesta:

\[ m_{\text{normal}}= -\frac1{f'(a)} \]
\[ \boxed{ y-f(a)= -\frac1{f'(a)}(x-a)} \]
! Si \(f'(a)=0\), la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical \(x=a\).
04
Ejemplo resuelto

Tangente y normal a una parábola

\[ f(x)=x^2-4x+5 \]

Calcula las rectas tangente y normal en \(x=3\).

1. Punto de tangencia.

\[ f(3)=9-12+5=2 \]
\[ P(3,2) \]

2. Pendiente.

\[ f'(x)=2x-4 \]
\[ f'(3)=2 \]

3. Tangente.

\[ y-2=2(x-3) \]
\[ \boxed{y=2x-4} \]

4. Normal.

\[ m_{\text{normal}}=-\frac12 \]
\[ y-2=-\frac12(x-3) \]
\[ \boxed{ y=-\frac12x+\frac72} \]
05
Ejemplo adaptado de la biblioteca PAU

Función \(xe^x\) en el origen

\[ f(x)=xe^x \]

1. Punto.

\[ f(0)=0 \Longrightarrow P(0,0) \]

2. Derivada.

\[ f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x) \]
\[ f'(0)=1 \]

3. Tangente y normal.

\[ \boxed{y=x} \]
\[ \boxed{y=-x} \]
06
Pendiente conocida

Tangente paralela a una recta

Si queremos que la tangente sea paralela a una recta de pendiente \(m\), debemos resolver:

\[ \boxed{f'(x)=m} \]
Ejemplo 3
\[ f(x)=x^2-2x+1 \]

Busca los puntos donde la tangente sea paralela a \(y=4x-3\).

\[ f'(x)=2x-2 \]
\[ 2x-2=4 \Longrightarrow x=3 \]
\[ f(3)=9-6+1=4 \]
\[ \boxed{P(3,4)} \]
07
Caso especial

Tangente horizontal

\[ \boxed{f'(a)=0} \]
Ejemplo 4
\[ f(x)=x^3-3x \]
\[ f'(x)=3x^2-3 \]
\[ 3x^2-3=0 \Longrightarrow x^2=1 \]
\[ \boxed{x=-1\quad\text{o}\quad x=1} \]
08
Contacto entre curva y recta

Condiciones de tangencia

Para que la recta \(r(x)=mx+n\) sea tangente a \(f(x)\) en \(x=a\), deben coincidir el punto y la pendiente:

Mismo punto

\[ f(a)=r(a) \]

Misma pendiente

\[ f'(a)=m \]
Ejemplo 5 · Hallar una recta tangente

Determina \(b\) para que la recta \(y=4x+b\) sea tangente a \(f(x)=x^2\).

1. Igualamos pendientes.

\[ f'(x)=2x \]
\[ 2a=4 \Longrightarrow a=2 \]

2. Igualamos los valores en el punto.

\[ f(2)=4 \]
\[ 4=4\cdot2+b \]
\[ \boxed{b=-4} \]
\[ \boxed{y=4x-4} \]
09
Guion de resolución

Cómo resolver problemas de tangentes

1Identifica el datoPunto, pendiente, paralelismo o tangencia.
2Calcula la derivadaObtén \(f'(x)\).
3Resuelve la condiciónEvalúa en \(a\) o iguala con la pendiente dada.
4Escribe la rectaUtiliza el punto y la pendiente correctos.
10
Biblioteca de Análisis

Practica tangentes y normales

Modelos recomendados:

Practica rectas tangentes en un punto, tangentes paralelas a una recta, tangentes horizontales y problemas donde se determina un parámetro.

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Qué debes recordar

Punto y pendiente determinan la recta

El punto es \((a,f(a))\) y la pendiente de la tangente es \(f'(a)\). La normal es perpendicular a la tangente.

Punto\((a,f(a))\).
TangentePendiente \(f'(a)\).
NormalPendiente \(-1/f'(a)\).
ParalelaIguala la derivada a la pendiente dada.

Errores frecuentes

Usar \(a\) como coordenada verticalEl punto es \((a,f(a))\).
Confundir tangente y normalSus pendientes son recíprocas y opuestas.
Igualar solo los valores en una tangenciaTambién deben coincidir las pendientes.

Resumen del tema

La derivada proporciona la pendiente de la tangente. Con el punto y esa pendiente se construyen la tangente y la normal y se resuelven problemas de paralelismo y tangencia.

Debes saber

  • Interpretar \(f'(a)\).
  • Calcular una tangente.
  • Calcular una normal.
  • Buscar tangentes paralelas.
  • Reconocer tangentes horizontales.
  • Aplicar condiciones de tangencia.
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