Matemáticas I · Análisis · Tema 09

Características de las funciones

Estudia simetrías, cortes, signo, crecimiento, extremos, curvatura y puntos de inflexión utilizando la información de la función y sus derivadas.

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Describir una función antes de representarla

Las características de una función permiten explicar cómo es su gráfica: dónde corta los ejes, cuándo es positiva, en qué intervalos crece, dónde alcanza extremos y cómo cambia su curvatura.

1Analizar propiedades globales
2Estudiar el signo de \(f'(x)\)
3Utilizar \(f''(x)\) para la curvatura
01
Información básica

Qué debemos estudiar

Dominio y recorrido

Indican qué valores de entrada se admiten y qué imágenes se alcanzan.

Cortes y signo

Localizan los ceros y las regiones donde la gráfica queda sobre o bajo el eje \(x\).

Simetría y periodicidad

Permiten reconocer patrones y reducir el trabajo de representación.

Monotonía

Describe los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Extremos

Localizan máximos y mínimos relativos o absolutos.

Curvatura

Distingue concavidad y puntos de inflexión.

02
Propiedades globales

Simetría y periodicidad

Función par

\[ \boxed{f(-x)=f(x)} \]

La gráfica es simétrica respecto del eje \(y\).

Función impar

\[ \boxed{f(-x)=-f(x)} \]

La gráfica es simétrica respecto del origen.

Función periódica

\[ \boxed{f(x+T)=f(x)} \]

El menor valor positivo \(T\) es el período fundamental.

Ejemplo 1 · Simetría impar
\[ f(x)=x^3-3x \]
\[ f(-x)=(-x)^3-3(-x) = -x^3+3x \]
\[ f(-x)=-(x^3-3x) \]
\[ \boxed{f(-x)=-f(x)} \]
03
Posición respecto de los ejes

Cortes y signo

Corte con el eje \(y\)

\[ x=0 \Longrightarrow (0,f(0)) \]

Cortes con el eje \(x\)

\[ f(x)=0 \]
Ejemplo 2 · Signo de una función
\[ f(x)=x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Intervalo \((-\infty,-2)\) \((-2,2)\) \((2,+\infty)\)
Signo de \(f(x)\) Positivo Negativo Positivo
\[ f(x)\gt0 \quad\text{si}\quad x\lt-2 \quad\text{o}\quad x\gt2 \]
04
Primera derivada

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

\[ f'(x)\gt0 \]

Decrecimiento

\[ f'(x)\lt0 \]

Los valores que anulan \(f'(x)\) y los puntos donde la derivada no existe dividen el dominio en intervalos de estudio.

05
Cambios de monotonía

Máximos y mínimos relativos

Cambio de signo de \(f'(x)\) Conclusión
De positivo a negativo Máximo relativo
De negativo a positivo Mínimo relativo
No cambia de signo No hay extremo relativo
Ejemplo 3 · Modelo de la biblioteca
\[ f(x)=x^3-3x \]

1. Calculamos la derivada.

\[ f'(x)=3x^2-3 = 3(x-1)(x+1) \]

2. Puntos críticos.

\[ f'(x)=0 \Longrightarrow x=-1 \quad\text{o}\quad x=1 \]
Intervalo \((-\infty,-1)\) \((-1,1)\) \((1,+\infty)\)
Signo de \(f'(x)\) Positivo Negativo Positivo
Comportamiento Crece Decrece Crece
\[ f(-1)=2, \qquad f(1)=-2 \]
\[ \boxed{ \text{Máximo relativo en }(-1,2)} \]
\[ \boxed{ \text{Mínimo relativo en }(1,-2)} \]
Crecimiento, máximo, mínimo y decrecimiento de una función cúbica La función crece hasta un máximo, decrece hasta un mínimo y vuelve a crecer. Máximo Mínimo crece decrece crece
Los extremos aparecen donde la derivada cambia de signo.
06
Segunda derivada

Concavidad y convexidad

Curvatura hacia arriba

\[ f''(x)\gt0 \]

Las pendientes de las tangentes van aumentando.

Curvatura hacia abajo

\[ f''(x)\lt0 \]

Las pendientes de las tangentes van disminuyendo.

La nomenclatura «cóncava» y «convexa» puede variar entre libros. Por eso es más seguro indicar siempre «curvatura hacia arriba» o «hacia abajo» junto con el signo de \(f''(x)\).

07
Cambio de curvatura

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica en el que cambia la curvatura.

! Resolver \(f''(x)=0\) proporciona candidatos. Para confirmar un punto de inflexión debe comprobarse que \(f''(x)\) cambia de signo.
Continuación del ejemplo cúbico
\[ f(x)=x^3-3x \]
\[ f''(x)=6x \]
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{si}\quad x\lt0 \]
\[ f''(x)\gt0 \quad\text{si}\quad x\gt0 \]
\[ f(0)=0 \]
\[ \boxed{ (0,0)\text{ es un punto de inflexión}} \]
Cambio de curvatura en un punto de inflexión Una curva en forma de ese cambia de curvatura al atravesar el origen. Punto de inflexión curvatura hacia abajo curvatura hacia arriba
El punto de inflexión exige un cambio real de curvatura.
08
Intervalos cerrados

Máximos y mínimos absolutos

Para buscar extremos absolutos en un intervalo cerrado \([a,b]\), se comparan:

Extremo izquierdo

\[f(a)\]

Puntos críticos interiores

\[f'(x)=0\]

Extremo derecho

\[f(b)\]
Ejemplo 4

Estudia los extremos absolutos de \(f(x)=x^3-3x\) en \([-2,2]\).

\[ f(-2)=-2, \qquad f(-1)=2, \qquad f(1)=-2, \qquad f(2)=2 \]
\[ \boxed{\max f=2} \]
\[ \boxed{\min f=-2} \]
09
Guion de estudio

Cómo analizar las características

1Propiedades básicasDominio, simetría, cortes y signo.
2Primera derivadaPuntos críticos, crecimiento y extremos.
3Segunda derivadaCurvatura y candidatos a inflexión.
4InterpretaExpresa intervalos y coordenadas completas.
10
Biblioteca de Análisis

Practica el estudio de funciones

Modelos recomendados:

Utiliza la biblioteca para practicar monotonía, extremos, tangentes horizontales, curvatura y puntos de inflexión. El ejemplo \(f(x)=x^3-3x\) reúne en una sola función las características principales.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

La primera derivada estudia la monotonía y la segunda la curvatura

Los ceros de las derivadas son candidatos. Siempre hay que estudiar el signo en los intervalos para confirmar extremos e inflexiones.

Crecimiento\(f'(x)\gt0\).
Decrecimiento\(f'(x)\lt0\).
ExtremosCambio de signo de \(f'(x)\).
InflexiónCambio de signo de \(f''(x)\).

Errores frecuentes

Confundir \(f(x)\) con \(f'(x)\)El signo de la función estudia su posición; el de la derivada, su monotonía.
Afirmar que todo cero de \(f'(x)\) es un extremoDebe cambiar el signo de la derivada.
Afirmar que todo cero de \(f''(x)\) es inflexiónDebe cambiar la curvatura.

Resumen del tema

Las características de una función combinan información algebraica, límites y derivadas. La primera derivada determina crecimiento y extremos; la segunda, curvatura e inflexiones.

Debes saber

  • Estudiar simetrías y cortes.
  • Construir tablas de signos.
  • Obtener intervalos de monotonía.
  • Clasificar máximos y mínimos.
  • Estudiar la curvatura.
  • Confirmar puntos de inflexión.
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