Matemáticas I · Análisis · Tema 10

Representación gráfica de funciones

Reúne dominio, simetrías, cortes, límites, asíntotas y derivadas para construir una gráfica razonada y coherente.

Comenzar el tema Volver al bloque

Representar no es dibujar a ojo

Una representación gráfica completa se construye a partir de información matemática. Cada apartado del estudio aporta restricciones que deben encajar en un único dibujo.

1Organizar el estudio completo
2Construir tablas de variación
3Dibujar una gráfica coherente
01
Plan general

Etapas de la representación

1. Información algebraica

Dominio, simetría, periodicidad, cortes y signo.

2. Comportamiento límite

Límites laterales, comportamiento en el infinito y asíntotas.

3. Información diferencial

Monotonía, extremos, curvatura e inflexiones.

Esquema de un estudio completo de funciones Un diagrama conecta dominio, límites, derivadas y gráfica final. Dominio cortes y simetrías Límites asíntotas Derivadas variación y curvatura Gráfica síntesis final
La gráfica final debe respetar toda la información obtenida en las etapas anteriores.
02
Lista de comprobación

Guion completo

Orden Apartado Qué aporta a la gráfica
1DominioZonas donde la gráfica puede existir
2Simetría y periodicidadPatrones que reducen el trabajo
3Cortes y signoPuntos de referencia y posición respecto del eje \(x\)
4Límites y asíntotasComportamiento cerca de puntos e infinito
5Primera derivadaCrecimiento, decrecimiento y extremos
6Segunda derivadaCurvatura y puntos de inflexión
7Dibujo finalUnión coherente de toda la información
03
Ejemplo completo de la biblioteca

Representar una función racional par

\[ \boxed{ f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}} \]
04
Paso 1

Dominio y simetría

El denominador no puede anularse:

\[ x^2-1\neq0 \Longrightarrow x\neq-1, \qquad x\neq1 \]
\[ \boxed{ \operatorname{Dom}(f)= \mathbb R\setminus\{-1,1\}} \]

Estudiamos la simetría:

\[ f(-x)= \frac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = \frac{x^2}{x^2-1} = f(x) \]
\[ \boxed{f\text{ es par}} \]
05
Paso 2

Cortes y signo

El numerador se anula en \(x=0\):

\[ f(0)=0 \]
\[ \boxed{(0,0)\text{ es el único corte con los ejes}} \]
Intervalo \((-\infty,-1)\) \((-1,0)\) \((0,1)\) \((1,+\infty)\)
Signo de \(f(x)\) Positivo Negativo Negativo Positivo
06
Paso 3

Límites y asíntotas

Asíntotas verticales:

\[ \lim_{x\to-1^\pm}f(x)=\pm\infty \]
\[ \lim_{x\to1^\pm}f(x)=\pm\infty \]
\[ \boxed{x=-1,\qquad x=1} \]

Asíntota horizontal:

\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2}{x^2-1} = 1 \]
\[ \boxed{y=1} \]
07
Paso 4

Monotonía y extremos

\[ f'(x)= \frac{ 2x(x^2-1)-2x\cdot x^2 }{ (x^2-1)^2 } \]
\[ \boxed{ f'(x)= \frac{-2x}{(x^2-1)^2}} \]

El denominador es positivo en todo el dominio, por lo que el signo de la derivada depende de \(-2x\).

Intervalo \((-\infty,-1)\) \((-1,0)\) \((0,1)\) \((1,+\infty)\)
Signo de \(f'(x)\) Positivo Positivo Negativo Negativo
Comportamiento Crece Crece Decrece Decrece
\[ f'(0)=0, \qquad f(0)=0 \]
\[ \boxed{(0,0)\text{ es un máximo relativo}} \]
08
Paso 5

Curvatura

\[ \boxed{ f''(x)= \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}} \]

El numerador es siempre positivo. El signo depende del denominador.

Intervalo \((-\infty,-1)\) \((-1,1)\) \((1,+\infty)\)
Signo de \(f''(x)\) Positivo Negativo Positivo
Curvatura Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba

No hay puntos de inflexión porque los cambios de signo se producen en \(x=-1\) y \(x=1\), que no pertenecen al dominio.

09
Paso 6

Gráfica final

Gráfica de x al cuadrado dividido entre x al cuadrado menos uno Función par con asíntotas verticales en menos uno y uno, asíntota horizontal y igual a uno y máximo relativo en el origen. x = −1 x = 1 y = 1 (0,0)
La simetría, las asíntotas, la monotonía y la curvatura determinan las cuatro ramas de la gráfica.
10
Revisión final

Cómo comprobar el dibujo

1Respeta el dominioNo dibujes puntos en valores excluidos.
2Respeta los límitesCada rama debe acercarse correctamente a las asíntotas.
3Respeta la monotoníaLa gráfica debe crecer y decrecer según la tabla.
4Respeta la curvaturaNo introduzcas inflexiones que el estudio no permite.
11
Biblioteca de Análisis

Practica estudios completos

Modelos recomendados:

Practica primero polinomios y después funciones racionales. En cada ejercicio conserva siempre el mismo orden: dominio, cortes, límites, derivadas, tablas y gráfica.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

La gráfica es la síntesis del estudio, no el punto de partida

Cada rama debe respetar el dominio, los límites, las asíntotas, la monotonía, los extremos y la curvatura.

DominioIndica dónde puede existir la gráfica.
LímitesDeterminan el comportamiento de las ramas.
Primera derivadaControla monotonía y extremos.
Segunda derivadaControla la curvatura.

Errores frecuentes

Dibujar antes de terminar el estudioEs fácil crear ramas incompatibles con los límites o derivadas.
Unir ramas a través de una asíntota verticalLos valores excluidos separan la gráfica.
Olvidar la escala cualitativaEl dibujo no necesita ser exacto, pero sí respetar posiciones y comportamientos.

Resumen del tema

Representar una función exige organizar toda la información obtenida mediante álgebra, límites y derivadas. El resultado es una gráfica cualitativa razonada.

Debes saber

  • Seguir un guion fijo.
  • Construir tablas de variación.
  • Representar asíntotas.
  • Situar extremos e inflexiones.
  • Separar correctamente las ramas.
  • Comprobar la coherencia final.

Scroll al inicio