Matemáticas I · Análisis · Tema 11

Optimización con derivadas

Aprende a convertir una situación real en una función de una variable y a utilizar las derivadas para encontrar valores máximos o mínimos.

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Optimizar es elegir la mejor opción posible

En estos problemas buscamos maximizar o minimizar una magnitud: beneficio, producción, área, volumen, tiempo, coste o distancia. La parte más importante es construir correctamente la función objetivo y su dominio.

1Elegir la variable adecuada
2Construir la función objetivo
3Comprobar el óptimo
01
Idea matemática

Máximos y mínimos

Si una función derivable alcanza un máximo o un mínimo en un punto interior \(x=a\), normalmente ese punto es crítico:

\[ \boxed{f'(a)=0} \]
! Resolver \(f'(x)=0\) solo proporciona candidatos. Después hay que comprobar que el punto pertenece al dominio y que realmente produce el máximo o mínimo buscado.
02
Método general

Seis pasos para resolver un problema

1 Comprende Identifica qué magnitud debe optimizarse.
2 Elige variable Define con claridad qué representa \(x\).
3 Usa la restricción Expresa las demás cantidades mediante \(x\).
4 Construye la función Obtén la función objetivo de una sola variable.
5 Deriva Calcula los puntos críticos dentro del dominio.
6 Comprueba Compara candidatos y responde con unidades.
03
Restricciones reales

El dominio del problema

El dominio matemático de una fórmula puede ser más amplio que el dominio permitido por el contexto.

Cantidades positivas

\[ x\gt0 \]

Longitudes, tiempos y unidades producidas no suelen admitir valores negativos.

Límites de capacidad

\[ 0\leq x\leq M \]

Puede existir una cantidad máxima disponible o fabricable.

Valores enteros

Si \(x\) representa personas u objetos, la solución final puede requerir comparar los enteros próximos al óptimo continuo.

04
Confirmar el resultado

Cómo decidir si es máximo o mínimo

Cambio de signo de \(f'(x)\)

De positivo a negativo: máximo. De negativo a positivo: mínimo.

Segunda derivada

\[ f''(a)\lt0 \Longrightarrow \text{máximo local} \]
\[ f''(a)\gt0 \Longrightarrow \text{mínimo local} \]

Comparación de valores

En un intervalo cerrado se comparan puntos críticos y extremos del intervalo.

Máximo de una función cóncava hacia abajo Una parábola alcanza un máximo en el punto donde su tangente es horizontal. Máximo x = a f'(a) = 0
Un punto crítico es máximo cuando la función pasa de crecer a decrecer.
05
Ejemplo adaptado de la biblioteca

Producto máximo con suma fija

Dos números positivos suman \(40\). Determina los números para que su producto sea máximo.

1. Elegimos la variable.

\[ x=\text{primer número} \]
\[ 40-x=\text{segundo número} \]

2. Dominio.

\[ 0\lt x\lt40 \]

3. Función objetivo.

\[ P(x)=x(40-x)=40x-x^2 \]

4. Derivamos.

\[ P'(x)=40-2x \]
\[ 40-2x=0 \Longrightarrow x=20 \]

5. Comprobamos.

\[ P''(x)=-2\lt0 \]
\[ \boxed{20\text{ y }20} \]
\[ \boxed{P_{\max}=400} \]
06
Modelo económico

Beneficio máximo

El beneficio, en cientos de euros, obtenido al producir \(x\) unidades viene dado por:

\[ B(x)=-2x^2+80x-300, \qquad 0\leq x\leq50 \]

1. Derivamos.

\[ B'(x)=-4x+80 \]
\[ -4x+80=0 \Longrightarrow x=20 \]

2. Comprobamos el tipo de extremo.

\[ B''(x)=-4\lt0 \]

3. Calculamos el beneficio.

\[ B(20)= -2\cdot20^2+ 80\cdot20- 300 = 500 \]
\[ \boxed{x=20\text{ unidades}} \]
\[ \boxed{B_{\max}=500\text{ cientos de euros}} \]
07
Modelo de mínimo

Coste mínimo

El coste asociado a una decisión \(x\) viene dado por:

\[ C(x)=x^2-24x+200, \qquad 0\leq x\leq30 \]
\[ C'(x)=2x-24 \]
\[ 2x-24=0 \Longrightarrow x=12 \]
\[ C''(x)=2\gt0 \]
\[ C(12)=144-288+200=56 \]
\[ \boxed{x=12,\qquad C_{\min}=56} \]
08
Interpretación real

Cuando la variable debe ser entera

Si la derivada proporciona un valor no entero, se comparan los enteros próximos que sean admisibles.

\[ x_0=18,4 \Longrightarrow \text{comparar }x=18\text{ y }x=19 \]
i No se debe redondear automáticamente. Hay que evaluar la función en los dos enteros próximos y elegir el mejor.
09
Biblioteca de Análisis

Practica problemas de optimización

Modelos recomendados:

Practica problemas de producto máximo, beneficio, coste, producción, tiempo y rendimiento. En todos ellos conviene escribir explícitamente la variable, el dominio y la función objetivo antes de derivar.

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Qué debes recordar

La derivada no sirve si la función objetivo está mal construida

Modelizar correctamente, reducir a una variable y establecer el dominio son pasos tan importantes como derivar.

VariableDebe definirse con unidades.
RestricciónRelaciona las cantidades del problema.
CríticosSe obtienen resolviendo \(f'(x)=0\).
RespuestaDebe interpretarse en el contexto.

Errores frecuentes

Trabajar con dos variablesUtiliza la restricción para expresar todo mediante una sola.
No indicar el dominioPuede aparecer una solución matemática sin sentido real.
Detenerse en \(f'(x)=0\)Hay que comprobar e interpretar el candidato.

Resumen del tema

Optimizar consiste en construir una función objetivo de una variable, estudiar sus puntos críticos dentro del dominio y elegir el valor que proporciona el máximo o mínimo solicitado.

Debes saber

  • Definir la variable.
  • Usar la restricción.
  • Construir la función objetivo.
  • Determinar el dominio real.
  • Calcular y comprobar críticos.
  • Responder con unidades.
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