Matemáticas I · Análisis · Tema 12

Problemas geométricos de optimización

Modeliza figuras planas y cuerpos geométricos para maximizar áreas y volúmenes o minimizar longitudes y distancias.

Comenzar el tema Volver al bloque

El dibujo forma parte de la resolución

En optimización geométrica es imprescindible dibujar la figura, indicar las medidas variables y escribir las relaciones geométricas antes de construir la función objetivo.

1Traducir el dibujo a ecuaciones
2Construir áreas y volúmenes
3Interpretar las dimensiones óptimas
01
Modelización geométrica

Fórmulas geométricas útiles en optimización

En estos problemas conviene tener a mano las fórmulas de perímetros, áreas, longitudes y volúmenes que permiten transformar la información geométrica en una función de una sola variable.

Polígono regular

\[ P=n\cdot l \]
\[ A=\frac{P\,a}{2} \]

Se usa cuando intervienen apotema, lado o número de lados.

Rectángulo y cuadrado

\[ A=xy, \qquad P=2x+2y \]
\[ A_{\text{cuad}}=l^2, \qquad P_{\text{cuad}}=4l \]

Triángulo

\[ A=\frac{bh}{2} \]

Muy frecuente en problemas con alturas, medianas o figuras inscritas.

Circunferencia y círculo

\[ L=2\pi r \]
\[ A=\pi r^2 \]

Prisma y cilindro

\[ V=A_b\,h \]
\[ V_{\text{cil}}=\pi r^2h \]

Pirámide y cono

\[ V=\frac{A_b\,h}{3} \]
\[ V_{\text{cono}}=\frac{\pi r^2h}{3} \]

Distancia entre dos puntos

\[ d= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]

Aparece en trayectorias mínimas y problemas de recorridos.

Teorema de Pitágoras

\[ c^2=a^2+b^2 \]

Esencial cuando la figura contiene triángulos rectángulos auxiliares.

Semejanza de triángulos

\[ \frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2} \]

Muy útil en figuras inscritas y problemas de tangencias.

i Antes de derivar, decide qué magnitud se quiere optimizar y qué relación geométrica permite escribirla con una sola variable.
02
Procedimiento

Cinco pasos esenciales

1DibujaRepresenta la figura y señala las medidas.
2Elige \(x\)Define una longitud variable.
3RelacionaUsa perímetros, áreas, semejanza o Pitágoras.
4OptimizaConstruye, deriva y resuelve.
5InterpretaDa todas las dimensiones y unidades.
03
Ejemplo adaptado de la biblioteca

Rectángulo de área máxima

Entre todos los rectángulos de perímetro \(40\) m, determina el de área máxima.

Rectángulo de lados x e y Un rectángulo muestra base x, altura y y perímetro cuarenta metros. x y 2x + 2y = 40
La restricción del perímetro permite expresar una dimensión mediante la otra.

1. Restricción.

\[ 2x+2y=40 \]
\[ x+y=20 \Longrightarrow y=20-x \]

2. Dominio.

\[ 0\lt x\lt20 \]

3. Función área.

\[ A(x)=x(20-x)=20x-x^2 \]

4. Derivamos.

\[ A'(x)=20-2x \]
\[ 20-2x=0 \Longrightarrow x=10 \]
\[ y=20-10=10 \]
\[ A''(x)=-2\lt0 \]
\[ \boxed{x=10\text{ m},\qquad y=10\text{ m}} \]
\[ \boxed{A_{\max}=100\text{ m}^2} \]
04
Volumen máximo

Caja abierta a partir de una lámina

De una cartulina rectangular de \(30\) cm por \(20\) cm se recortan cuadrados de lado \(x\) en las cuatro esquinas. Al plegar los bordes se obtiene una caja sin tapa. Determina \(x\) para que el volumen sea máximo.

Lámina rectangular con cuadrados recortados Una lámina de treinta por veinte centímetros tiene cuatro cuadrados de lado x recortados en las esquinas. 30 cm 20 cm x base: (30 − 2x) por (20 − 2x)
Tras plegar, la altura de la caja es \(x\) y las dimensiones de la base se reducen en \(2x\).

1. Dominio.

\[ 0\lt x\lt10 \]

2. Función volumen.

\[ V(x)= x(30-2x)(20-2x) \]
\[ V(x)= 4x^3-100x^2+600x \]

3. Derivamos.

\[ V'(x)= 12x^2-200x+600 \]
\[ 3x^2-50x+150=0 \]
\[ x= \frac{25\pm5\sqrt7}{3} \]

La raíz con el signo positivo no pertenece al dominio. Por tanto:

\[ \boxed{ x= \frac{25-5\sqrt7}{3} \approx 3,92\text{ cm}} \]

Las dimensiones aproximadas de la caja son:

\[ 22,15\text{ cm} \times 12,15\text{ cm} \times 3,92\text{ cm} \]
\[ \boxed{ V_{\max}\approx1056,3\text{ cm}^3} \]
05
Rectángulo inscrito

Área máxima bajo una parábola

Considera la parábola:

\[ y=12-x^2 \]

Se quiere inscribir bajo ella un rectángulo simétrico respecto del eje \(y\), con la base apoyada sobre el eje \(x\) y con los dos vértices superiores perteneciendo a la parábola. Determina las dimensiones del rectángulo de área máxima.

1. Dimensiones y dominio.

\[ \text{base}=2x, \qquad \text{altura}=12-x^2 \]
\[ 12-x^2\gt0 \Longrightarrow x^2\lt12 \Longrightarrow 0\lt x\lt\sqrt{12} \]

2. Función área.

\[ A(x)= 2x(12-x^2) = 24x-2x^3 \]

3. Derivamos y buscamos puntos críticos.

\[ A'(x)=24-6x^2 \]
\[ 24-6x^2=0 \Longrightarrow x^2=4 \Longrightarrow x=2 \]

4. Comprobamos que es un máximo.

\[ A''(x)=-12x \]
\[ A''(2)=-24\lt0 \]

5. Calculamos las dimensiones.

\[ \text{base}=2x=4 \]
\[ \text{altura}=12-2^2=8 \]
\[ A(2)=4\cdot8=32 \]
\[ \boxed{\text{base}=4, \qquad \text{altura}=8} \]
\[ \boxed{A_{\max}=32} \]
06
Elegir la relación correcta

Qué herramienta geométrica utilizar

Situación Relación habitual
Perímetro fijo Despejar una dimensión mediante la ecuación del perímetro
Figura inscrita Utilizar la ecuación de la curva o semejanza de triángulos
Caja o depósito Construir el volumen como producto de tres dimensiones
Distancia mínima Aplicar Pitágoras o la fórmula de distancia
Superficie mínima Relacionar área lateral, bases y volumen fijo
07
Biblioteca de Análisis

Practica modelos geométricos

Modelos recomendados:

Practica rectángulos con perímetro fijo, cajas formadas al recortar una lámina, figuras inscritas, depósitos y problemas de distancia mínima. Reproduce siempre el dibujo y añade las medidas antes de empezar a derivar.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

La relación geométrica convierte varias medidas en una sola variable

El dibujo, la restricción y el dominio deben construirse antes de la función objetivo. Después se aplica el método general de optimización.

DibujoDebe incluir todas las medidas.
RestricciónPerímetro, curva, semejanza o volumen.
DominioLas longitudes deben ser positivas.
ResultadoDa todas las dimensiones y unidades.

Errores frecuentes

No hacer un dibujoEs fácil confundir dimensiones o perder factores como \(2x\).
Optimizar la restricciónDebes derivar el área, volumen o distancia solicitada.
Dar solo el valor de \(x\)La respuesta debe incluir todas las dimensiones finales.

Resumen del tema

Los problemas geométricos de optimización combinan fórmulas de área, volumen o distancia con una restricción. Tras reducir el problema a una variable, se deriva y se interpretan las dimensiones óptimas.

Debes saber

  • Dibujar y etiquetar la figura.
  • Escribir la restricción.
  • Reducir a una variable.
  • Determinar el dominio geométrico.
  • Derivar y comprobar.
  • Responder con dimensiones y unidades.
Scroll al inicio