Matemáticas I · Probabilidad · Tema 03

Técnicas de recuento y regla de Laplace

Aprende a contar resultados de forma ordenada y a calcular probabilidades cuando todos los casos elementales son equiprobables.

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Contar bien es el primer paso para calcular probabilidades

Cuando el espacio muestral contiene muchos resultados, escribirlos uno a uno no es práctico. Las técnicas de recuento permiten conocer cuántos casos posibles y favorables existen sin enumerarlos todos.

1Aplicar el principio multiplicativo
2Elegir la técnica de recuento
3Utilizar la regla de Laplace
01
Principio fundamental

Regla del producto

Si una primera decisión puede tomarse de \(m\) formas y, para cada una de ellas, una segunda puede tomarse de \(n\) formas, el número total de resultados es:

\[ \boxed{m\cdot n} \]
Ejemplo 1 · Conjuntos de ropa

Una persona dispone de \(3\) camisetas y \(2\) pantalones. El número de conjuntos diferentes es:

\[ 3\cdot2=6 \]
\[ \boxed{6\text{ conjuntos}} \]
Árbol de tres camisetas y dos pantalones Cada una de las tres camisetas se combina con dos pantalones, generando seis conjuntos. Elegir conjunto Camiseta 1 Camiseta 2 Camiseta 3 C1 + P1 C1 + P2 C2 + P1 C2 + P2 C3 + P1 C3 + P2
Cada camino completo representa una posibilidad diferente.
02
Producto descendente

Factorial de un número

\[ \boxed{ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1} \]
\[ 0!=1 \]
Ejemplo 2
\[ 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 \]
\[ \boxed{5!=120} \]
03
Elegir el modelo

Las preguntas que debes hacerte

¿Importa el orden?

No es lo mismo elegir presidente y secretario que elegir dos representantes sin cargo.

¿Se usan todos los elementos?

Ordenar todos los libros es distinto de seleccionar solo algunos.

¿Puede repetirse?

En una contraseña puede repetirse una cifra; en una extracción sin reemplazamiento, no.

¿Hay elementos iguales?

En palabras con letras repetidas, intercambiar letras iguales no crea una ordenación nueva.

04
Modelos de recuento

Permutaciones, variaciones y combinaciones

Situación ¿Importa el orden? ¿Se repite? Fórmula
Permutaciones de \(n\) elementos Sí No \(P_n=n!\)
Variaciones de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\) Sí No \(V_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Variaciones con repetición Sí Sí \(VR_{n,k}=n^k\)
Combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\) No No \(\displaystyle\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
i No memorices solo la fórmula. Antes de utilizarla, explica por qué importa o no el orden y si los elementos pueden repetirse.
05
Ordenar todos los elementos

Permutaciones

Ejemplo 3 · Ordenar libros

¿De cuántas formas pueden colocarse \(5\) libros diferentes en una estantería?

\[ P_5=5! \]
\[ \boxed{P_5=120} \]
Ampliación · Elementos repetidos

Las letras de la palabra MAMA pueden ordenarse de:

\[ \frac{4!}{2!\,2!} \]
\[ \boxed{6\text{ formas}} \]
06
Seleccionar y ordenar

Variaciones

Ejemplo 4 · Cargos diferentes

De un grupo de \(8\) personas se eligen presidente, vicepresidente y secretario. El orden importa porque los cargos son distintos.

\[ V_{8,3} = \frac{8!}{(8-3)!} \]
\[ V_{8,3}=8\cdot7\cdot6 \]
\[ \boxed{V_{8,3}=336} \]
Ejemplo 5 · Código con repetición

Un código tiene \(4\) cifras y cada posición puede contener cualquiera de las \(10\) cifras.

\[ VR_{10,4}=10^4 \]
\[ \boxed{10000\text{ códigos}} \]
07
Seleccionar sin ordenar

Combinaciones

Ejemplo 6 · Elegir un comité

De \(8\) personas se eligen \(3\) representantes sin asignar cargos. El orden no importa.

\[ \binom83 = \frac{8!}{3!\,5!} \]
\[ \binom83 = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} \]
\[ \boxed{\binom83=56} \]
08
Casos equiprobables

Regla de Laplace

Si el espacio muestral es finito y todos los resultados elementales son equiprobables:

\[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{número de casos favorables}} {\text{número de casos posibles}}} \]

Espacio finito

Debe haber un número limitado de resultados elementales.

Equiprobabilidad

Todos los resultados deben tener la misma probabilidad.

Recuento correcto

Los casos favorables deben ser parte de los casos posibles.

! Laplace no se puede aplicar directamente cuando los resultados no son equiprobables.
09
Ejemplo completo

Suma igual a \(8\) con dos dados

Lanzamos dos dados equilibrados. Los resultados son pares ordenados y hay:

\[ 6\cdot6=36 \]

Los casos favorables a obtener suma \(8\) son:

\[ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \]
Tabla de resultados de dos dados con suma ocho Una cuadrícula de seis por seis resalta cinco casillas cuya suma es ocho. Segundo dado Primer dado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)
Cada casilla representa un resultado equiprobable. Las cinco casillas destacadas tienen suma \(8\).
\[ P(\text{suma }8)=\frac5{36} \]
\[ \boxed{ P(\text{suma }8)=\frac5{36}} \]
10
Recuento dentro de Laplace

Elegir personas al azar

En un grupo de \(8\) personas hay \(5\) chicas y \(3\) chicos. Se eligen \(3\) personas al azar. Calcula la probabilidad de que las tres sean chicas.

Casos posibles:

\[ \binom83=56 \]

Casos favorables:

\[ \binom53=10 \]

Regla de Laplace:

\[ P(\text{tres chicas}) = \frac{\binom53}{\binom83} = \frac{10}{56} \]
\[ \boxed{ P(\text{tres chicas})=\frac5{28}} \]
11
Guion de resolución

Cómo resolver un problema de recuento

1 Identifica las decisiones Separa el proceso en etapas.
2 Pregunta por el orden Decide si cambiar el orden crea un resultado nuevo.
3 Comprueba la repetición Determina si un elemento puede utilizarse varias veces.
4 Cuenta y aplica Laplace Solo si todos los casos son equiprobables.
12
Biblioteca de Matemáticas I

Practica recuento y Laplace

Modelos recomendados:

Practica códigos, ordenaciones, comités, cartas, dados y selecciones de personas. En cada ejercicio justifica la técnica elegida antes de sustituir en una fórmula.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

Orden y repetición determinan la técnica de recuento

La regla de Laplace necesita un espacio finito de resultados equiprobables. Las técnicas de recuento permiten calcular sus casos posibles y favorables.

Producto Multiplica las opciones de etapas sucesivas.
Permutación Se ordenan todos los elementos.
Variación Se selecciona y el orden importa.
Combinación Se selecciona y el orden no importa.

Errores frecuentes

Elegir una fórmula sin analizar el orden Cambiar el orden puede producir o no un resultado nuevo según el contexto.
Aplicar Laplace sin equiprobabilidad Los casos posibles deben tener la misma probabilidad.
Confundir casos favorables y posibles Los favorables siempre forman un subconjunto de los posibles.

Resumen del tema

Las técnicas de recuento permiten calcular el tamaño de espacios muestrales grandes. Después, si los resultados son equiprobables, la regla de Laplace convierte el recuento en una probabilidad.

Debes saber

  • Aplicar el principio multiplicativo.
  • Calcular factoriales.
  • Distinguir orden y repetición.
  • Usar permutaciones y variaciones.
  • Utilizar combinaciones.
  • Comprobar la equiprobabilidad.
  • Aplicar la regla de Laplace.
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