Matemáticas I · Probabilidad · Tema 01

Experimentos aleatorios y sucesos

Aprende desde cero el lenguaje de la probabilidad: experimentos aleatorios, resultados, espacio muestral, sucesos y frecuencia relativa.

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Antes de calcular, hay que describir qué puede ocurrir

La probabilidad estudia situaciones cuyo resultado no puede conocerse con seguridad antes de realizar el experimento. Para trabajar con ellas necesitamos identificar todos los resultados posibles y agruparlos en sucesos.

1Distinguir tipos de experimentos
2Construir espacios muestrales
3Definir e interpretar sucesos
01
Primer concepto

Experimentos deterministas y aleatorios

Experimento determinista

Si se repite en las mismas condiciones, conocemos de antemano el resultado.

\[ 3+5=8 \]

También es determinista calcular el área de un cuadrado cuyo lado es conocido.

Experimento aleatorio

Conocemos los resultados posibles, pero no podemos asegurar cuál se producirá en una realización concreta.

\[ \text{lanzar un dado} \]

También son aleatorias una extracción de una urna o el lanzamiento de una moneda.

! Que un experimento sea aleatorio no significa que no podamos estudiarlo. Podemos describir sus resultados y analizar la regularidad que aparece al repetirlo muchas veces.
02
Resultados posibles

Resultado elemental y espacio muestral

Resultado elemental

Es cada uno de los resultados individuales que puede producir el experimento.

Espacio muestral

Es el conjunto formado por todos los resultados elementales.

Notación

Se representa habitualmente mediante la letra griega \(\Omega\).

\[ \boxed{ \Omega= \{\text{todos los resultados posibles}\}} \]
Ejemplo 1 · Lanzamiento de un dado
\[ \Omega= \{1,2,3,4,5,6\} \]

Cada número es un resultado elemental. El espacio muestral tiene seis elementos.

03
Experimento en dos pasos

Espacio muestral de dos monedas

Lanzamos dos monedas y anotamos el resultado de la primera y de la segunda. Utilizaremos \(C\) para cara y \(X\) para cruz.

Diagrama de los resultados de lanzar dos monedas La primera moneda puede dar cara o cruz y cada una de esas ramas vuelve a dividirse en cara o cruz. Experimento dos monedas C X (C,C) (C,X) (X,C) (X,X) 1.ª moneda 2.ª moneda
El orden importa para describir el resultado: \((C,X)\) y \((X,C)\) son resultados elementales diferentes.
\[ \boxed{ \Omega= \{(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)\}} \]
04
Agrupar resultados

Qué es un suceso

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Está formado por uno o varios resultados elementales.

\[ \boxed{A\subseteq\Omega} \]

Suceso elemental

Contiene un único resultado.

\[ A=\{4\} \]

Suceso compuesto

Contiene varios resultados.

\[ B=\{2,4,6\} \]

Suceso seguro

Siempre se produce.

\[ \Omega \]

Suceso imposible

No puede producirse.

\[ \varnothing \]
Ejemplo 2 · Sucesos al lanzar un dado

Definimos:

\[ A=\text{«obtener un número par»} \]
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\text{«obtener un número mayor que }4\text{»} \]
\[ B=\{5,6\} \]
05
Interpretación

Cuándo ocurre un suceso

Después de realizar el experimento, un suceso ocurre si el resultado obtenido pertenece al conjunto que lo define.

Resultado perteneciente

\[ 4\in A \]

Si obtenemos un \(4\), ocurre el suceso «obtener un número par».

Resultado no perteneciente

\[ 5\notin A \]

Si obtenemos un \(5\), no ocurre el suceso «obtener un número par».

06
Lo que no pertenece al suceso

Suceso contrario o complementario

El suceso contrario de \(A\) está formado por todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen a \(A\).

\[ \boxed{ A^c= \Omega\setminus A} \]
Ejemplo 3 · Dado
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ \boxed{ A^c=\{1,3,5\}} \]
i Las operaciones más completas con sucesos —unión, intersección, diferencia y leyes de De Morgan— se desarrollan en el Tema 02.
07
Repetir el experimento

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Frecuencia absoluta

Número de veces que ocurre el suceso \(A\) en \(n\) repeticiones.

\[ n_A \]

Frecuencia relativa

Proporción de veces que ocurre el suceso.

\[ f_r(A)=\frac{n_A}{n} \]
Ejemplo 4 · Lanzamientos de una moneda

En \(100\) lanzamientos se obtiene cara \(54\) veces.

\[ n_C=54 \]
\[ f_r(C)=\frac{54}{100}=0,54 \]
\[ \boxed{f_r(C)=54\,\%} \]

Cuando repetimos muchas veces un experimento en las mismas condiciones, la frecuencia relativa suele estabilizarse alrededor de un valor. Esta regularidad ayuda a interpretar la probabilidad.

08
Propiedades básicas

Noción de probabilidad

La probabilidad de un suceso \(A\) se representa mediante \(P(A)\) y mide el grado de posibilidad de que ocurra.

Propiedad Interpretación
\(0\leq P(A)\leq1\) Una probabilidad siempre está entre \(0\) y \(1\).
\(P(\varnothing)=0\) El suceso imposible tiene probabilidad cero.
\(P(\Omega)=1\) El suceso seguro tiene probabilidad uno.
\(P(A^c)=1-P(A)\) La probabilidad de que no ocurra \(A\) completa a uno.
Ejemplo 5 · Suceso contrario

Si la probabilidad de que un autobús llegue puntual es \(0,82\), la probabilidad de que no llegue puntual es:

\[ P(A^c)=1-P(A) \]
\[ P(A^c)=1-0,82 \]
\[ \boxed{P(A^c)=0,18} \]
09
Primer cálculo sencillo

Resultados equiprobables

En algunos experimentos todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad. En un dado equilibrado:

\[ P(1)=P(2)=\cdots=P(6)=\frac16 \]
Ejemplo 6 · Número par
\[ A=\{2,4,6\} \]

El suceso contiene tres de los seis resultados equiprobables:

\[ P(A)=\frac36 \]
\[ \boxed{P(A)=\frac12} \]
→ La regla de Laplace y las técnicas de recuento necesarias para problemas más complejos se estudiarán con detalle en el Tema 03.
10
Elegir una representación

Cómo organizar un experimento

Lista ordenada

Adecuada cuando el espacio muestral contiene pocos resultados.

Tabla de doble entrada

Útil cuando se combinan dos variables o dos experimentos.

Diagrama de árbol

Muestra con claridad las decisiones o etapas sucesivas.

Tabla de doble entrada para dos monedas Las filas representan la primera moneda y las columnas la segunda, formando los cuatro resultados posibles. C X C X (C,C) (C,X) (X,C) (X,X) filas: primera moneda · columnas: segunda moneda
La tabla contiene exactamente los mismos resultados que el árbol, pero organizados mediante filas y columnas.
11
Biblioteca de Matemáticas I

Practica el lenguaje de la probabilidad

Modelos recomendados:

Empieza con monedas, dados y urnas sencillas. En cada ejercicio escribe primero el espacio muestral y después define mediante conjuntos los sucesos que aparecen en el enunciado.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

El espacio muestral contiene todo lo que puede ocurrir

Los sucesos son subconjuntos de \(\Omega\). Antes de calcular una probabilidad debes saber qué resultados forman cada suceso.

Aleatorio No conocemos de antemano el resultado concreto.
Espacio muestral Conjunto de todos los resultados posibles.
Suceso Subconjunto del espacio muestral.
Frecuencia relativa Proporción de veces que ocurre un suceso.

Errores frecuentes

Olvidar resultados posibles Un espacio muestral incompleto conduce a probabilidades incorrectas.
No distinguir el orden En dos monedas, \((C,X)\) y \((X,C)\) son resultados diferentes.
Confundir resultado y suceso Un resultado elemental es un elemento; un suceso es un conjunto de resultados.

Resumen del tema

Un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles. El espacio muestral los reúne y los sucesos seleccionan aquellos que cumplen una condición. La frecuencia relativa conecta la repetición experimental con la idea de probabilidad.

Debes saber

  • Distinguir experimentos deterministas y aleatorios.
  • Construir un espacio muestral.
  • Reconocer resultados elementales.
  • Definir sucesos mediante conjuntos.
  • Identificar sucesos seguro e imposible.
  • Calcular frecuencias relativas.
  • Interpretar probabilidades sencillas.
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