Matemáticas I · Probabilidad · Tema 02

Operaciones con sucesos

Aprende a combinar sucesos mediante unión, intersección, diferencia y complementario, y traduce correctamente expresiones como «al menos uno», «los dos» o «ninguno».

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Los sucesos pueden combinarse como conjuntos

Cada suceso es un subconjunto del espacio muestral. Por eso podemos utilizar las operaciones de conjuntos para describir situaciones más complejas y calcular sus probabilidades.

1Interpretar las operaciones
2Usar diagramas de Venn
3Aplicar reglas de probabilidad
01
Lenguaje de conjuntos

Operaciones fundamentales

Unión

\[ A\cup B \]

Ocurre \(A\), ocurre \(B\) o ocurren los dos.

Intersección

\[ A\cap B \]

Ocurren simultáneamente \(A\) y \(B\).

Diferencia

\[ A\setminus B \]

Ocurre \(A\), pero no ocurre \(B\).

Complementario

\[ A^c \]

No ocurre el suceso \(A\).

02
Representación visual

Unión e intersección en diagramas de Venn

Diagramas de Venn de la unión y la intersección El primer panel sombrea las dos circunferencias y el segundo solo la zona común. Unión \(A\cup B\) Intersección \(A\cap B\) A B A B todo lo que pertenece a A o a B solo la zona común
En Matemáticas, la palabra «o» suele ser inclusiva: admite que ocurran ambos sucesos.
03
Ejemplo completo

Operaciones al lanzar un dado

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
\[ A=\{2,4,6\} \qquad \text{«obtener un número par»} \]
\[ B=\{4,5,6\} \qquad \text{«obtener un número mayor que }3\text{»} \]
Operación Resultado Interpretación
\(A\cup B\) \(\{2,4,5,6\}\) Número par o mayor que \(3\)
\(A\cap B\) \(\{4,6\}\) Número par y mayor que \(3\)
\(A\setminus B\) \(\{2\}\) Par, pero no mayor que \(3\)
\(A^c\) \(\{1,3,5\}\) Número impar
04
Relación entre sucesos

Sucesos compatibles e incompatibles

Compatibles

Pueden ocurrir al mismo tiempo.

\[ A\cap B\neq\varnothing \]

En el ejemplo anterior, \(A\) y \(B\) son compatibles porque pueden obtenerse \(4\) o \(6\).

Incompatibles

No pueden ocurrir simultáneamente.

\[ A\cap B=\varnothing \]

«Obtener un número par» y «obtener un número impar» son incompatibles.

! Incompatibles no significa independientes. La independencia se estudiará en el Tema 05.
05
Regla fundamental

Probabilidad de la unión

Al sumar \(P(A)\) y \(P(B)\), los resultados comunes quedan contados dos veces. Por eso debemos restar una vez la intersección.

\[ \boxed{ P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \]
Ejemplo 1 · Dado equilibrado
\[ P(A)=\frac36=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac36=\frac12 \]
\[ P(A\cap B)=\frac26=\frac13 \]
\[ P(A\cup B) = \frac12+\frac12-\frac13 \]
\[ \boxed{ P(A\cup B)=\frac23} \]

Si \(A\) y \(B\) son incompatibles, la intersección tiene probabilidad cero:

\[ \boxed{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)} \]
06
Completar hasta uno

Probabilidad del suceso contrario

\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A)} \]
Ejemplo 2 · Al menos un acierto

La probabilidad de no acertar ninguna pregunta es \(0,18\). La probabilidad de acertar al menos una es:

\[ P(\text{al menos un acierto}) = 1-P(\text{ningún acierto}) \]
\[ \boxed{ P(\text{al menos un acierto})=0,82} \]
i En muchos problemas, calcular el suceso contrario es más sencillo que contar directamente todos los casos favorables.
07
Leyes de De Morgan

Negar una unión o una intersección

Negación de una unión

\[ \boxed{ (A\cup B)^c= A^c\cap B^c} \]

«No ocurre ninguno» equivale a «no ocurre \(A\) y no ocurre \(B\)».

Negación de una intersección

\[ \boxed{ (A\cap B)^c= A^c\cup B^c} \]

«No ocurren los dos» equivale a «no ocurre \(A\) o no ocurre \(B\)».

Complementario de una unión y diferencia de sucesos El primer panel sombrea el exterior de dos círculos y el segundo la parte de A que no pertenece a B. \((A\cup B)^c\) \(A\setminus B\) A B A B
El complementario se toma respecto de todo el espacio muestral.
08
Del lenguaje cotidiano al simbólico

Expresiones frecuentes

«Al menos uno»
\[ A\cup B \]

Ocurre uno, el otro o ambos.

«Los dos»
\[ A\cap B \]

Los dos sucesos ocurren simultáneamente.

«Ninguno»
\[ A^c\cap B^c \]

No ocurre ni \(A\) ni \(B\).

«Solo \(A\)»
\[ A\setminus B \]

Ocurre \(A\), pero no \(B\).

«Exactamente uno»
\[ (A\setminus B)\cup(B\setminus A) \]

Ocurre uno de los dos, pero no ambos.

«No los dos»
\[ (A\cap B)^c \]

Al menos uno de los sucesos no ocurre.

09
Ejemplo contextualizado

Encuesta de actividades

En un grupo, el \(60\,\%\) practica deporte, el \(45\,\%\) toca un instrumento y el \(25\,\%\) realiza ambas actividades. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar realice al menos una de las dos.

\[ P(D)=0,60, \qquad P(M)=0,45, \qquad P(D\cap M)=0,25 \]
\[ P(D\cup M) = P(D)+P(M)-P(D\cap M) \]
\[ P(D\cup M) = 0,60+0,45-0,25 \]
\[ \boxed{ P(D\cup M)=0,80} \]

La probabilidad de que no realice ninguna de las dos actividades es:

\[ \boxed{ P((D\cup M)^c)=1-0,80=0,20} \]
10
Biblioteca de Matemáticas I

Practica operaciones con sucesos

Modelos recomendados:

Practica problemas con dados, cartas, encuestas y selección de personas. Antes de calcular, traduce cada frase a una operación entre sucesos y dibuja un diagrama de Venn cuando ayude a organizar la información.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

La unión suma, pero la intersección no puede contarse dos veces

Las operaciones con sucesos permiten traducir el lenguaje cotidiano a conjuntos y aplicar después las reglas de probabilidad.

Unión Ocurre \(A\), ocurre \(B\) o ambos.
Intersección Ocurren simultáneamente.
Complementario Completa la probabilidad hasta uno.
Incompatibles Su intersección es vacía.

Errores frecuentes

Sumar sin restar la intersección Si los sucesos son compatibles, los casos comunes quedarían contados dos veces.
Interpretar «o» como exclusivo En probabilidad, \(A\cup B\) normalmente admite que ocurran ambos.
Confundir incompatibilidad e independencia Son conceptos diferentes y se estudian con criterios distintos.

Resumen del tema

Los sucesos se combinan mediante unión, intersección, diferencia y complementario. Los diagramas de Venn ayudan a interpretar estas operaciones y la regla de la unión evita contar dos veces los resultados comunes.

Debes saber

  • Calcular uniones e intersecciones.
  • Determinar diferencias y complementarios.
  • Distinguir compatibles e incompatibles.
  • Aplicar la regla de la unión.
  • Utilizar las leyes de De Morgan.
  • Traducir expresiones habituales.
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