Matemáticas I · Probabilidad · Tema 07

Teorema de Bayes

Aprende a invertir el sentido de una probabilidad condicionada: conocemos un resultado y queremos averiguar qué causa es la más probable.

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Bayes permite razonar desde el resultado hacia la causa

En probabilidad total conocemos las causas y calculamos un resultado. En Bayes ocurre lo contrario: observamos el resultado y queremos actualizar la probabilidad de cada causa posible.

1Distinguir causa y resultado
2Calcular la probabilidad total
3Obtener una probabilidad posterior
01
Dos direcciones

Probabilidad total y Bayes

Probabilidad total

\[ P(B\mid A_i) \]

Conocemos la causa \(A_i\) y calculamos la probabilidad del resultado \(B\).

Teorema de Bayes

\[ P(A_i\mid B) \]

Conocemos el resultado \(B\) y calculamos la probabilidad de la causa \(A_i\).

! En general, \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\) no son iguales.
02
Fórmula general

Teorema de Bayes

Si \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) forman una partición del espacio muestral y \(P(B)\gt0\), entonces:

\[ \boxed{ P(A_i\mid B)= \frac{ P(A_i)\,P(B\mid A_i) }{ \displaystyle \sum_{j=1}^{n} P(A_j)\,P(B\mid A_j) }} \]

El denominador es precisamente la probabilidad total de \(B\):

\[ P(B)= \sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B\mid A_j) \]
03
Interpretación

Probabilidad inicial y probabilidad posterior

Probabilidad inicial

\[ P(A_i) \]

Lo que sabíamos sobre la causa antes de observar el resultado.

Información observada

\[ B \]

El resultado que ya sabemos que ha ocurrido.

Probabilidad posterior

\[ P(A_i\mid B) \]

La probabilidad actualizada de la causa después de observar \(B\).

04
Recorrer el árbol al revés

Cómo interpretar Bayes en un diagrama

Árbol de Bayes con dos causas y un resultado observado Dos causas A uno y A dos se dividen en B y no B. Se destacan los caminos que terminan en B y una flecha de vuelta hacia las causas. Inicio A₁ A₂ B Bᶜ B Bᶜ observado B: volvemos hacia la causa
Primero calculamos los caminos de izquierda a derecha. Después, al saber que ocurrió \(B\), comparamos qué parte procede de cada causa.
05
Ejemplo clásico

Pieza defectuosa y máquina de procedencia

Una fábrica utiliza dos máquinas. La máquina \(M_1\) produce el \(60\,\%\) de las piezas y \(M_2\) el \(40\,\%\). Son defectuosas el \(2\,\%\) de las piezas de \(M_1\) y el \(5\,\%\) de las de \(M_2\). Sabiendo que una pieza elegida es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de \(M_2\).

1. Probabilidad total de pieza defectuosa.

\[ P(D)= 0,60\cdot0,02 + 0,40\cdot0,05 \]
\[ P(D)=0,032 \]

2. Aplicamos Bayes.

\[ P(M_2\mid D)= \frac{ P(M_2)P(D\mid M_2) }{ P(D) } \]
\[ P(M_2\mid D)= \frac{ 0,40\cdot0,05 }{ 0,032 } \]
\[ \boxed{ P(M_2\mid D)=0,625} \]

Aunque \(M_2\) fabrica menos piezas, una pieza defectuosa tiene un \(62,5\,\%\) de probabilidad de proceder de esa máquina.

06
Ejemplo con fracciones

Urna de procedencia de una bola roja

Se elige una de dos urnas con la misma probabilidad. La urna \(U_1\) contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) azules; la urna \(U_2\), \(1\) roja y \(4\) azules. Sabiendo que la bola extraída es roja, calcula la probabilidad de haber elegido \(U_1\).

1. Probabilidad total de roja.

\[ P(R)= \frac12\cdot\frac35 + \frac12\cdot\frac15 \]
\[ P(R)=\frac25 \]

2. Aplicamos Bayes.

\[ P(U_1\mid R)= \frac{ \frac12\cdot\frac35 }{ \frac25 } \]
\[ \boxed{ P(U_1\mid R)=\frac34} \]
07
Interpretar una prueba

Resultado positivo y situación previa

En una población, el \(4\,\%\) de las personas presenta una determinada característica. Una prueba resulta positiva en el \(90\,\%\) de quienes la presentan y también en el \(8\,\%\) de quienes no la presentan. Calcula la probabilidad de presentar la característica sabiendo que la prueba ha sido positiva.

\[ P(C)=0,04, \qquad P(C^c)=0,96 \]
\[ P(+\mid C)=0,90, \qquad P(+\mid C^c)=0,08 \]

1. Probabilidad total de resultado positivo.

\[ P(+)= 0,04\cdot0,90 + 0,96\cdot0,08 \]
\[ P(+)=0,1128 \]

2. Aplicamos Bayes.

\[ P(C\mid +)= \frac{ 0,04\cdot0,90 }{ 0,1128 } \]
\[ \boxed{ P(C\mid +)\approx0,319} \]

Un resultado positivo no implica certeza. La probabilidad posterior es aproximadamente del \(31,9\,\%\).

i Este ejemplo es puramente matemático: muestra cómo la frecuencia inicial influye en la interpretación de una prueba.
08
Guion de resolución

Cinco pasos para aplicar Bayes

1 Define las causas Comprueba que forman una partición.
2 Identifica el resultado Es el suceso que sabemos que ha ocurrido.
3 Dibuja el árbol Trabaja primero de causa a resultado.
4 Calcula \(P(B)\) Utiliza probabilidad total.
5 Aplica Bayes Divide el camino de interés entre \(P(B)\).
09
Evitar confusiones

Qué probabilidad pide el problema

Pregunta Probabilidad
Si procede de \(M_2\), ¿qué probabilidad hay de que sea defectuosa? \(P(D\mid M_2)\)
Si es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que proceda de \(M_2\)? \(P(M_2\mid D)\)
¿Qué probabilidad hay de que una pieza sea defectuosa? \(P(D)\)
10
Biblioteca de Matemáticas I

Practica el teorema de Bayes

Modelos recomendados:

Practica máquinas y piezas, urnas, proveedores, transportes, grupos y resultados de pruebas. En cada problema escribe con palabras qué representa la causa y qué resultado se ha observado.

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Qué debes recordar

Bayes divide un camino concreto entre todos los caminos que explican el resultado

El numerador contiene la causa que nos interesa y el resultado observado. El denominador es la probabilidad total de ese resultado.

Inicial \(P(A_i)\), antes de observar el resultado.
Resultado \(B\), la información que conocemos.
Total \(P(B)\), suma de todos los caminos.
Posterior \(P(A_i\mid B)\), probabilidad actualizada.

Errores frecuentes

Intercambiar causa y resultado Lee con cuidado qué información aparece después de «sabiendo que».
Usar solo el camino del numerador El denominador debe incluir todos los caminos que terminan en el resultado observado.
Omitir la probabilidad total Bayes necesita calcular primero la probabilidad del resultado.

Resumen del tema

El teorema de Bayes actualiza la probabilidad de una causa después de observar un resultado. Para aplicarlo se calcula primero la probabilidad total del resultado y después se divide el camino correspondiente entre esa probabilidad.

Debes saber

  • Distinguir causa y resultado.
  • Interpretar probabilidades iniciales.
  • Calcular la probabilidad total.
  • Aplicar la fórmula de Bayes.
  • Interpretar la probabilidad posterior.
  • Diferenciar \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\).
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