Matemáticas I · Probabilidad · Tema 05

Probabilidad condicionada e independencia

Comprende cómo cambia una probabilidad cuando conocemos información adicional y aprende a distinguir sucesos independientes e incompatibles.

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Condicionar significa reducir la información posible

La expresión «sabiendo que» modifica el espacio de resultados que debemos considerar. Ya no trabajamos con todo \(\Omega\), sino solo con los resultados compatibles con la información conocida.

1Interpretar «sabiendo que»
2Aplicar la regla del producto
3Comprobar la independencia
01
Definición

Probabilidad condicionada

La probabilidad de \(A\) sabiendo que ha ocurrido \(B\) se representa mediante \(P(A\mid B)\).

\[ \boxed{ P(A\mid B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}} \]
\[ P(B)\neq0 \]

El denominador representa el nuevo espacio de referencia y el numerador los resultados que, además de pertenecer a \(B\), cumplen el suceso \(A\).

02
Espacio reducido

Interpretación mediante conjuntos

Probabilidad de A condicionada a B El conjunto B se convierte en el nuevo espacio de referencia y dentro de él se destaca la intersección con A. A B \(A\cap B\) al saber que ocurre B, solo miramos dentro de B
En la probabilidad condicionada, \(B\) sustituye a \(\Omega\) como espacio de referencia.
03
Ejemplo elemental

Condicionar un lanzamiento de dado

Lanzamos un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que \(3\), sabiendo que el resultado es par.

\[ A=\{4,5,6\} \]
\[ B=\{2,4,6\} \]
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
\[ P(A\mid B) = \frac{2/6}{3/6} \]
\[ \boxed{ P(A\mid B)=\frac23} \]

También puede verse directamente: dentro del nuevo espacio \(B=\{2,4,6\}\), dos de los tres resultados son mayores que \(3\).

04
Forma equivalente

Regla del producto

Despejando \(P(A\cap B)\) en la definición obtenemos:

\[ \boxed{ P(A\cap B)= P(B)\,P(A\mid B)} \]

También puede escribirse intercambiando el orden:

\[ \boxed{ P(A\cap B)= P(A)\,P(B\mid A)} \]
i Esta es la regla que se utiliza al multiplicar las ramas de un diagrama de árbol.
05
Dependencia entre etapas

Urna sin reemplazamiento

Una urna contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) azules. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera ha sido roja.

Después de obtener una bola roja, quedan \(2\) rojas y \(2\) azules:

\[ P(R_2\mid R_1)=\frac24 \]
\[ \boxed{ P(R_2\mid R_1)=\frac12} \]

Antes de conocer la primera extracción, la probabilidad de roja era \(\frac35\). La información recibida ha modificado la probabilidad.

06
Tabla de contingencia

Condicionada a partir de datos

En un grupo de \(200\) estudiantes se registran el uso del autobús y la práctica deportiva:

Practica deporte No practica deporte Total
Usa autobús 50 70 120
No usa autobús 30 50 80
Total 80 120 200

Calcula la probabilidad de que practique deporte sabiendo que usa el autobús.

Al condicionar por «usa autobús», el nuevo total es \(120\):

\[ P(D\mid A)=\frac{50}{120} \]
\[ \boxed{ P(D\mid A)=\frac5{12}} \]
07
La información no cambia la probabilidad

Sucesos independientes

Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes cuando saber que uno ha ocurrido no modifica la probabilidad del otro.

Criterio mediante condicionada

\[ P(A\mid B)=P(A) \]

Criterio del producto

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Interpretación

La información aportada por un suceso no cambia la probabilidad del otro.

08
Ejemplo

Dos lanzamientos de una moneda

Sea \(A\) el suceso «cara en el primer lanzamiento» y \(B\) el suceso «cara en el segundo lanzamiento».

\[ P(A)=\frac12 \qquad P(B)=\frac12 \]
\[ P(A\cap B)=\frac14 \]
\[ P(A)P(B) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14 \]
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B)} \]

Por tanto, los resultados de los dos lanzamientos son independientes.

09
No confundir

Independientes e incompatibles

Sucesos incompatibles

\[ A\cap B=\varnothing \]

No pueden ocurrir al mismo tiempo. Si ocurre uno, sabemos que el otro no ha ocurrido.

Sucesos independientes

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Pueden ocurrir simultáneamente y la información de uno no afecta al otro.

! Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva no pueden ser independientes.
10
Procedimiento

Cómo comprobar la independencia

1 Calcula \(P(A)\) Obtén la probabilidad del primer suceso.
2 Calcula \(P(B)\) Obtén la probabilidad del segundo suceso.
3 Calcula \(P(A\cap B)\) Determina la probabilidad de que ocurran ambos.
4 Compara Comprueba si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
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Ejemplo completo

Comprobar independencia con un dado

Lanzamos un dado equilibrado. Sean:

\[ A=\{2,4,6\} \qquad \text{«resultado par»} \]
\[ B=\{4,5,6\} \qquad \text{«resultado mayor que }3\text{»} \]
\[ P(A)=\frac12 \qquad P(B)=\frac12 \]
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
\[ P(A\cap B)=\frac26=\frac13 \]
\[ P(A)P(B)=\frac14 \]
\[ \boxed{ \frac13\neq\frac14} \]

Por tanto, \(A\) y \(B\) no son independientes.

12
Biblioteca de Matemáticas I

Practica condicionada e independencia

Modelos recomendados:

Practica dados, cartas, urnas, tablas de contingencia y árboles. En cada problema identifica primero qué información se conoce y cuál es el nuevo espacio de referencia.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

Condicionar cambia el espacio de referencia

La independencia aparece cuando esa información adicional no modifica la probabilidad del otro suceso.

Condicionada \(B\) se convierte en el nuevo espacio.
Producto \(P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)\).
Independencia La información no cambia la probabilidad.
Incompatibilidad Los sucesos no pueden ocurrir juntos.

Errores frecuentes

Intercambiar \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\) La información conocida aparece después de la barra.
Usar todo \(\Omega\) como denominador Al condicionar por \(B\), el nuevo espacio de referencia es \(B\).
Confundir independientes e incompatibles Independencia significa ausencia de influencia, no imposibilidad de ocurrir juntos.

Resumen del tema

La probabilidad condicionada mide la probabilidad de un suceso cuando ya conocemos otro. Dos sucesos son independientes cuando esa información no modifica sus probabilidades.

Debes saber

  • Interpretar \(P(A\mid B)\).
  • Aplicar la definición de condicionada.
  • Usar la regla del producto.
  • Leer una tabla de contingencia.
  • Comprobar independencia.
  • Distinguir independencia e incompatibilidad.
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