Matemáticas I · Probabilidad · Tema 04

Experimentos compuestos y diagramas de árbol

Aprende a organizar experimentos realizados en varias etapas y a calcular probabilidades multiplicando ramas y sumando caminos.

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Un experimento compuesto se desarrolla en varias etapas

Lanzar dos monedas, extraer dos bolas de una urna o elegir sucesivamente varias personas son experimentos compuestos. Los diagramas de árbol permiten visualizar cada etapa y todos los caminos posibles.

1Construir árboles completos
2Multiplicar probabilidades en un camino
3Sumar caminos incompatibles
01
Clasificación

Experimentos simples y compuestos

Experimento simple

Consta de una única acción aleatoria.

\[ \text{lanzar un dado} \]

Experimento compuesto

Combina dos o más acciones aleatorias sucesivas.

\[ \text{lanzar dos monedas} \]

Resultado compuesto

Debe indicar lo ocurrido en todas las etapas.

\[ (C,X) \]
02
Representación

Cómo construir un diagrama de árbol

1 Primera etapa Dibuja una rama por cada resultado posible.
2 Segunda etapa Desde cada nodo, añade las nuevas posibilidades.
3 Probabilidades Escribe la probabilidad correspondiente sobre cada rama.
4 Caminos finales Identifica los resultados completos y el suceso pedido.
i Las probabilidades que salen de un mismo nodo deben sumar \(1\).
03
Ejemplo básico

Dos lanzamientos de una moneda

Árbol de dos lanzamientos de una moneda Cada lanzamiento tiene ramas cara y cruz con probabilidad un medio, produciendo cuatro caminos finales. Inicio C X (C,C) (C,X) (X,C) (X,X) 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Cada camino contiene un resultado de la primera moneda y otro de la segunda.

Para calcular la probabilidad del camino \((C,X)\), multiplicamos las probabilidades de sus ramas:

\[ P(C,X)= \frac12\cdot\frac12 \]
\[ \boxed{P(C,X)=\frac14} \]
04
Regla del camino

Multiplicar probabilidades

La probabilidad de un camino completo se obtiene multiplicando las probabilidades de las ramas que lo forman.

\[ \boxed{ P(A\cap B)= P(A)\,P(B\mid A)} \]

La expresión \(P(B\mid A)\) indica la probabilidad de \(B\) después de haber ocurrido \(A\). Se estudiará con detalle en el Tema 05.

05
La urna recupera su composición

Extracciones con reemplazamiento

Una urna contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) azules. Se extrae una bola, se devuelve a la urna y se realiza una segunda extracción. Calcula la probabilidad de obtener dos bolas rojas.

\[ P(R_1)=\frac35 \]

Como la bola se devuelve, la composición de la urna no cambia:

\[ P(R_2\mid R_1)=\frac35 \]
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac35 \]
\[ \boxed{ P(R_1\cap R_2)=\frac9{25}} \]
06
La urna cambia

Extracciones sin reemplazamiento

En la misma urna de \(3\) bolas rojas y \(2\) azules se realizan dos extracciones sin devolver la primera bola. Calcula la probabilidad de obtener dos rojas.

\[ P(R_1)=\frac35 \]

Si la primera ha sido roja, quedan \(2\) rojas entre \(4\) bolas:

\[ P(R_2\mid R_1)=\frac24 \]
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac24 \]
\[ \boxed{ P(R_1\cap R_2)=\frac3{10}} \]
! Sin reemplazamiento, la probabilidad de la segunda extracción depende de lo ocurrido en la primera.
07
Árbol completo

Dos extracciones sin reemplazamiento

Árbol de dos extracciones sin reemplazamiento Una urna con tres bolas rojas y dos azules genera cuatro caminos: roja roja, roja azul, azul roja y azul azul. Urna 3 R · 2 A R 2 R · 2 A A 3 R · 1 A R,R R,A A,R A,A 3/5 2/5 2/4 2/4 3/4 1/4
La segunda probabilidad cambia porque la primera bola no se devuelve.
08
Regla del suceso

Sumar caminos incompatibles

Si un suceso puede ocurrir mediante varios caminos incompatibles, calculamos cada camino y sumamos sus probabilidades.

Con la urna anterior y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener exactamente una bola roja.

Hay dos caminos favorables:

\[ R,A \qquad\text{y}\qquad A,R \]
\[ P(R,A) = \frac35\cdot\frac24 = \frac3{10} \]
\[ P(A,R) = \frac25\cdot\frac34 = \frac3{10} \]
\[ P(\text{exactamente una roja}) = \frac3{10}+\frac3{10} \]
\[ \boxed{ P(\text{exactamente una roja})=\frac35} \]
09
Estrategia alternativa

Sucesos del tipo «al menos uno»

Cuando hay muchos caminos favorables, puede ser más sencillo calcular el contrario.

\[ \boxed{ P(\text{al menos uno}) = 1-P(\text{ninguno})} \]

Al lanzar dos monedas, la probabilidad de obtener al menos una cara es:

\[ P(\text{ninguna cara}) = P(X,X) = \frac14 \]
\[ \boxed{ P(\text{al menos una cara}) = 1-\frac14 = \frac34} \]
10
Consulta rápida

Reglas del diagrama de árbol

Situación Operación
Probabilidad de un camino Multiplicar las probabilidades de sus ramas
Suceso formado por varios caminos incompatibles Sumar las probabilidades de esos caminos
Extracción con reemplazamiento La composición inicial se recupera
Extracción sin reemplazamiento La composición cambia en cada etapa
Suceso «al menos uno» Puede calcularse mediante el contrario
11
Biblioteca de Matemáticas I

Practica experimentos compuestos

Modelos recomendados:

Practica lanzamientos sucesivos, urnas con y sin reemplazamiento, selecciones por etapas y sucesos del tipo «exactamente uno» o «al menos uno». Dibuja siempre el árbol antes de calcular.

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Qué debes recordar

En un camino se multiplica; entre caminos se suma

El árbol debe reflejar cómo cambia el experimento después de cada resultado, especialmente cuando no hay reemplazamiento.

Ramas Las que salen de un nodo suman \(1\).
Camino Se multiplican sus probabilidades.
Suceso Se suman sus caminos incompatibles.
Reemplazamiento Determina si cambian las probabilidades.

Errores frecuentes

Sumar dentro de un camino Las probabilidades de etapas sucesivas se multiplican.
Mantener las probabilidades sin reemplazamiento Tras cada extracción cambia el número de bolas de la urna.
Olvidar un camino favorable «Exactamente uno» suele poder ocurrir en más de un orden.

Resumen del tema

Los diagramas de árbol organizan experimentos compuestos. Cada camino se calcula multiplicando las ramas y los sucesos formados por varios caminos incompatibles se calculan sumando.

Debes saber

  • Construir un árbol completo.
  • Asignar probabilidades a las ramas.
  • Multiplicar dentro de un camino.
  • Sumar caminos incompatibles.
  • Distinguir reemplazamiento y no reemplazamiento.
  • Utilizar el suceso contrario.
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