Matemáticas I · Probabilidad · Tema 06

Probabilidad total

Aprende a calcular la probabilidad de un resultado que puede producirse por distintas causas o caminos incompatibles.

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Un mismo resultado puede alcanzarse por distintos caminos

La probabilidad total reúne las probabilidades de todos los caminos incompatibles que terminan en un mismo suceso. Para aplicarla necesitamos dividir el espacio muestral en causas que no se solapen y que cubran todas las posibilidades.

1Reconocer una partición
2Multiplicar cada camino
3Sumar los caminos favorables
01
Organizar las causas

Sistema completo de sucesos

Los sucesos \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) forman una partición del espacio muestral cuando cumplen estas dos condiciones:

Son incompatibles dos a dos

\[ A_i\cap A_j=\varnothing \qquad \text{si }i\neq j \]

Cubren todo el espacio

\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega \]

Tienen probabilidad positiva

\[ P(A_i)\gt0 \]
i Las causas pueden ser máquinas, grupos, turnos, urnas, proveedores o cualquier clasificación que reparta todos los casos posibles.
02
Fórmula general

Teorema de la probabilidad total

\[ \boxed{ P(B)= \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)} \]

Cada término representa un camino que empieza en una causa \(A_i\) y termina en el resultado \(B\).

\[ P(B)= P(A_1)P(B\mid A_1) + \cdots + P(A_n)P(B\mid A_n) \]
03
Representación visual

La probabilidad total en un árbol

Árbol de tres causas que pueden producir el resultado B Tres primeras ramas A uno, A dos y A tres se dividen después en B y no B. Se resaltan los caminos que terminan en B. Inicio A₁ A₂ A₃ B Bᶜ B Bᶜ B Bᶜ se suman los tres caminos que terminan en B
La probabilidad de \(B\) es la suma de todos los caminos incompatibles que finalizan en \(B\).
04
Ejemplo clásico

Piezas producidas por dos máquinas

Una fábrica produce piezas con dos máquinas. La máquina \(M_1\) fabrica el \(60\,\%\) de las piezas y la máquina \(M_2\) el \(40\,\%\). Son defectuosas el \(2\,\%\) de las piezas de \(M_1\) y el \(5\,\%\) de las de \(M_2\). Calcula la probabilidad de elegir una pieza defectuosa.

\[ P(M_1)=0,60, \qquad P(M_2)=0,40 \]
\[ P(D\mid M_1)=0,02, \qquad P(D\mid M_2)=0,05 \]
\[ P(D)= P(M_1)P(D\mid M_1) + P(M_2)P(D\mid M_2) \]
\[ P(D)= 0,60\cdot0,02 + 0,40\cdot0,05 \]
\[ P(D)=0,012+0,020 \]
\[ \boxed{P(D)=0,032} \]

La probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es del \(3,2\,\%\).

05
Ejemplo contextualizado

Medio de transporte y retraso

El \(50\,\%\) del alumnado llega en autobús, el \(30\,\%\) caminando y el \(20\,\%\) en coche. La probabilidad de llegar tarde es \(0,08\), \(0,03\) y \(0,05\), respectivamente. Calcula la probabilidad total de llegar tarde.

\[ P(T)= 0,50\cdot0,08 + 0,30\cdot0,03 + 0,20\cdot0,05 \]
\[ P(T)= 0,040+0,009+0,010 \]
\[ \boxed{P(T)=0,059} \]

La probabilidad total de llegar tarde es del \(5,9\,\%\).

06
Elección previa al azar

Seleccionar una urna y extraer una bola

Se elige una de dos urnas con la misma probabilidad. La urna \(U_1\) contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) azules; la urna \(U_2\), \(1\) roja y \(4\) azules. Calcula la probabilidad de extraer una bola roja.

\[ P(U_1)=P(U_2)=\frac12 \]
\[ P(R\mid U_1)=\frac35, \qquad P(R\mid U_2)=\frac15 \]
\[ P(R)= \frac12\cdot\frac35 + \frac12\cdot\frac15 \]
\[ \boxed{P(R)=\frac25} \]
07
Lectura rápida

Cómo reconocer la estructura

Elemento del problema Interpretación
Máquinas, grupos, turnos o urnas Causas \(A_i\)
Defectuosa, tarde, roja o aprobada Resultado común \(B\)
Porcentaje de cada grupo Probabilidad \(P(A_i)\)
Probabilidad del resultado dentro de cada grupo Condicionada \(P(B\mid A_i)\)
Todos los caminos que terminan en \(B\) Probabilidad total \(P(B)\)
08
Guion de resolución

Cómo aplicar la probabilidad total

1 Define las causas Comprueba que forman una partición.
2 Dibuja el árbol Coloca las causas en la primera etapa.
3 Calcula caminos Multiplica cada \(P(A_i)P(B\mid A_i)\).
4 Suma Reúne todos los caminos que terminan en \(B\).
09
Biblioteca de Matemáticas I

Practica probabilidad total

Modelos recomendados:

Practica problemas de máquinas, proveedores, grupos, medios de transporte y elección de urnas. Identifica primero las causas y después el resultado común cuya probabilidad se solicita.

Abrir la biblioteca de Matemáticas I →
Qué debes recordar

La probabilidad total suma todos los caminos que llevan al mismo resultado

Las causas deben ser incompatibles y cubrir todas las posibilidades. Cada camino se multiplica y después se suman los caminos favorables.

Partición Causas incompatibles que cubren \(\Omega\).
Camino \(P(A_i)P(B\mid A_i)\).
Resultado El mismo suceso \(B\) aparece en todas las ramas.
Total Se suman todos los caminos favorables.

Errores frecuentes

Sumar probabilidades condicionadas sin ponderar Cada condicionada debe multiplicarse por la probabilidad de su causa.
Olvidar una causa La partición debe cubrir todas las posibilidades.
Confundir \(P(B\mid A_i)\) con \(P(A_i\mid B)\) En probabilidad total avanzamos desde la causa hacia el resultado.

Resumen del tema

La probabilidad total calcula la probabilidad de un resultado que puede producirse por varias causas. Se multiplica la probabilidad de cada causa por la condicionada correspondiente y se suman todos los caminos.

Debes saber

  • Reconocer una partición.
  • Identificar causas y resultado.
  • Construir el árbol.
  • Multiplicar cada camino.
  • Sumar los caminos favorables.
  • Interpretar el resultado final.
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