Matemáticas II · Probabilidad · Tema 06

Distribución binomial

Aprende a calcular probabilidades cuando repetimos un experimento independiente con dos resultados posibles.

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Contar éxitos en un número fijo de ensayos

La binomial es el modelo más importante de probabilidad discreta en Bachillerato. La clave no es memorizar la fórmula, sino reconocer cuándo el experimento cumple todas las condiciones necesarias.

1Reconocer un experimento binomial
2Identificar \(n\), \(p\), \(q\) y \(k\)
3Interpretar probabilidades acumuladas
01
Cuándo se utiliza

Condiciones de un experimento binomial

Número fijo

El experimento se repite exactamente \(n\) veces.

Dos resultados

Cada ensayo termina en éxito o fracaso.

Probabilidad constante

La probabilidad de éxito es siempre \(p\).

Independencia

El resultado de un ensayo no modifica los demás.

02
Definición

Variable binomial

Si \(X\) representa el número de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito \(p\), entonces:

\[ \boxed{X\sim B(n,p)} \]
\[ q=1-p \]

Los valores posibles son:

\[ X\in\{0,1,2,\ldots,n\} \]
03
Probabilidad exacta

Fórmula de la distribución binomial

\[ \boxed{ P(X=k)= \binom nk p^kq^{\,n-k}} \]

\(n\)

Número total de ensayos.

\(k\)

Número exacto de éxitos buscado.

\(p\) y \(q\)

Probabilidades de éxito y fracaso.

04
Número de formas

Número combinatorio

\[ \boxed{ \binom nk= \frac{n!}{k!(n-k)!}} \]
Ejemplo original · Calcular \(\binom53\)
\[ \binom53= \frac{5!}{3!2!} \]
\[ \binom53= \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} {(3\cdot2\cdot1)(2\cdot1)} \]
\[ \boxed{\binom53=10} \]
i En la calculadora científica puede utilizarse la función \(nCr\): \(5\ nCr\ 3=10\).
05
Mejora autorizada

Media, varianza y desviación típica

Media

\[ \boxed{\mu=np} \]

Número medio de éxitos esperado.

Varianza

\[ \boxed{\sigma^2=npq} \]

Mide la dispersión cuadrática.

Desviación típica

\[ \boxed{\sigma=\sqrt{npq}} \]

Mide la dispersión en las mismas unidades que \(X\).

06
Traducir el enunciado

Expresiones habituales

Enunciado Expresión Desarrollo habitual
Exactamente \(k\) \(P(X=k)\) Aplicar directamente la fórmula.
Como máximo \(k\) \(P(X\leq k)\) \(\sum_{i=0}^{k}P(X=i)\)
Al menos \(k\) \(P(X\geq k)\) \(\sum_{i=k}^{n}P(X=i)\)
Más de \(k\) \(P(X>k)\) \(\sum_{i=k+1}^{n}P(X=i)\)
Menos de \(k\) \(P(X \(\sum_{i=0}^{k-1}P(X=i)\)
! Lee con cuidado si el valor \(k\) está incluido. «Como máximo 4» incluye \(4\), mientras que «menos de 4» termina en \(3\).
07
Ejemplo original completo

Tiros libres

La probabilidad de encestar un tiro libre es \(0,8\). Se lanzan cinco tiros. Sea:

\[ X=\text{número de tiros encestados} \]
\[ \boxed{X\sim B(5,0,8)} \]
\[ n=5, \qquad p=0,8, \qquad q=0,2 \]
08
Apartado 1

Probabilidad de encestar exactamente tres tiros

\[ P(X=3)= \binom53(0,8)^3(0,2)^2 \]
\[ P(X=3)= 10\cdot0,512\cdot0,04 \]
\[ \boxed{P(X=3)=0,2048} \]
09
Apartado 2

Probabilidad de encestar más de dos tiros

\[ P(X>2)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \]
\[ P(X=4)= \binom54(0,8)^4(0,2) = 0,4096 \]
\[ P(X=5)= \binom55(0,8)^5 = 0,32768 \]
\[ P(X>2)= 0,2048+0,4096+0,32768 \]
\[ \boxed{P(X>2)=0,94208\approx0,9421} \]
10
Apartado 3

Probabilidad de encestar menos de cuatro tiros

Utilizamos el suceso contrario:

\[ P(X<4)=1-P(X\geq4) \]
\[ P(X\geq4)= P(X=4)+P(X=5) \]
\[ P(X\geq4)= 0,4096+0,32768 = 0,73728 \]
\[ P(X<4)= 1-0,73728 \]
\[ \boxed{P(X<4)=0,26272\approx0,2627} \]
11
Parámetros del ejemplo

Media y desviación de los tiros libres

Media

\[ \mu=np=5\cdot0,8=4 \]

En promedio, se esperan cuatro aciertos.

Desviación típica

\[ \sigma= \sqrt{npq} = \sqrt{5\cdot0,8\cdot0,2} = \sqrt{0,8} \]
12
Biblioteca PAU

Practica distribuciones binomiales

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de éxitos y fracasos, controles de calidad, encuestas, lanzamientos y probabilidades acumuladas.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

La clave está en reconocer el modelo

Debe haber un número fijo de ensayos independientes, dos resultados posibles y una probabilidad de éxito constante.

Modelo\(X\sim B(n,p)\).
Exacta\(\binom nkp^kq^{n-k}\).
Media\(\mu=np\).
Desviación\(\sigma=\sqrt{npq}\).

Errores frecuentes

No identificar bien el éxitoEl valor de \(p\) depende del suceso que se haya elegido como éxito.
Confundir \(p\) y \(q\)Siempre debe cumplirse \(q=1-p\).
No comprobar las condicionesNo todo experimento repetido sigue una binomial.

Resumen del tema

La distribución binomial modeliza el número de éxitos en \(n\) ensayos independientes con probabilidad de éxito constante. Permite calcular probabilidades exactas y acumuladas y se caracteriza por su media y desviación típica.

Debes saber

  • Comprobar las cuatro condiciones.
  • Identificar \(n,p,q,k\).
  • Calcular números combinatorios.
  • Traducir «al menos» y «como máximo».
  • Calcular media y desviación típica.
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