Distribución binomial
Aprende a calcular probabilidades cuando repetimos un experimento con dos posibles resultados.
Este es el modelo más importante de probabilidad discreta en Bachillerato y aparece con mucha frecuencia en la PAU.
Idea básica
La distribución binomial aparece cuando repetimos un experimento varias veces, siempre en las mismas condiciones, y cada vez solo hay dos posibles resultados: éxito o fracaso.
Cuándo se utiliza
Un problema sigue una distribución binomial cuando se cumplen estas condiciones:
- Se repite el experimento un número fijo de veces (\(n\)).
- Solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso).
- La probabilidad de éxito es constante (\(p\)).
- Los ensayos son independientes.
Definición
Si \(X\) es el número de éxitos en \(n\) ensayos, entonces:
\[
X \sim B(n,p)
\]
Fórmula de la binomial
\[
P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
donde:
- \(n\): número de repeticiones
- \(k\): número de éxitos
- \(p\): probabilidad de éxito
Cómo se calcula un número combinatorio
El símbolo \(\binom{n}{k}\), llamado número combinatorio, se calcula con la siguiente fórmula:
\[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
donde \(n!\) (factorial de \(n\)) es el producto:
\[
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 1
\]
Ejemplo
Calculamos:
\[
\binom{5}{3}
\]
Aplicamos la fórmula:
\[
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot2!}
\]
Desarrollamos los factoriales:
\[
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1,\quad 3!=3\cdot2\cdot1,\quad 2!=2\cdot1
\]
Simplificamos:
\[
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(2\cdot1)}
\]
\[
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10
\]
Resultado: 10
Cómo calcularlo con la calculadora
En la práctica, los números combinatorios se calculan directamente con la calculadora usando la función nCr.
Para calcular \(\binom{5}{3}\):
- Introduce: 5
- Pulsa la tecla nCr
- Introduce: 3
- Pulsa =
Resultado: 10
En muchos modelos de calculadora Casio, la función nCr se encuentra en el menú de probabilidades o como función secundaria (SHIFT).
Qué debes recordar
Éxito o fracaso
Siempre el mismo \(p\)
Ejemplo resuelto
La probabilidad de encestar un tiro libre es 0.8. Se lanzan 5 tiros.
1. Probabilidad de encestar exactamente 3
\[
n=5,\quad p=0.8,\quad k=3
\]
\[
P(X=3)=\binom{5}{3} (0.8)^3 (0.2)^2
\]
\[
P(X=3)=10 \cdot 0.512 \cdot 0.04=0.2048
\]
Resultado: 0.2048
2. Probabilidad de encestar más de 2 tiros
\[
P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
\]
\[
P(X=3)=0.2048
\]
\[
P(X=4)=\binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)=5\cdot0.4096\cdot0.2=0.4096
\]
\[
P(X=5)=\binom{5}{5}(0.8)^5=0.32768
\]
\[
P(X>2)=0.2048+0.4096+0.32768=0.94208
\]
Resultado: 0.9421 (aprox)
3. Probabilidad de encestar menos de 4 tiros
En lugar de sumar \(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\), utilizamos la probabilidad contraria:
\[
P(X<4)=1-P(X\geq 4)
\]
\[
P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5)
\]
\[
P(X\geq 4)=0.4096+0.32768=0.73728
\]
\[
P(X<4)=1-0.73728=0.26272
\]
Resultado: 0.2627 (aprox)
Errores habituales
- No identificar bien el éxito.
- Confundir \(p\) con \(1-p\).
- No comprobar si el problema es binomial.
- Olvidar que los ensayos deben ser independientes.
Cómo estudiar este tema
Practica muchos ejercicios identificando bien \(n\), \(p\) y \(k\). La clave no está en la fórmula, sino en reconocer cuándo se puede aplicar.
Resumen final
- La binomial modeliza repeticiones con dos resultados.
- Se define por \(n\) y \(p\).
- Se usa una fórmula específica.
- Es uno de los temas más importantes de la PAU.