Matemáticas II · Probabilidad · Tema 04

Teorema de Bayes

Aprende a actualizar la probabilidad de una causa cuando conocemos el resultado observado.

Comenzar el tema Volver al bloque

Del resultado observado a la causa más probable

Bayes relaciona probabilidades condicionadas en sentidos opuestos y actualiza la probabilidad de una causa al conocer un resultado.

1Identificar causas y resultado
2Calcular la probabilidad total
3Aplicar Bayes con orden
01
Qué problema resuelve

Condicionadas en sentidos opuestos

El enunciado suele proporcionar:

\[ P(\text{resultado}\mid\text{causa}) \]

y pregunta:

\[ \boxed{ P(\text{causa}\mid\text{resultado})} \]
i Bayes no afirma que estas probabilidades sean iguales; proporciona la relación correcta entre ellas.
02
Fórmula general

Teorema de Bayes

\[ \boxed{ P(A_i\mid B)= \frac{ P(A_i)\,P(B\mid A_i) }{ \displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(A_j)\,P(B\mid A_j) }} \]

La fórmula se utiliza cuando:

\[ \boxed{P(B)>0} \]

El denominador es precisamente la probabilidad total de \(B\):

\[ P(B)= \sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B\mid A_j) \]
03
Procedimiento

Cómo aplicar Bayes paso a paso

1Define los sucesosDistingue causas previas y resultado observado.
2Extrae los datosEscribe probabilidades iniciales y condicionadas.
3Calcula \(P(B)\)Aplica primero probabilidad total.
4Aplica BayesColoca en el numerador el camino de la causa preguntada.
04
Esquema generado con código

Árbol del ejemplo de las máquinas

Árbol de Bayes para dos máquinas La fábrica produce con las máquinas A y B, y cada rama se divide en piezas defectuosas y no defectuosas. Inicio A B 0,70 0,30 D No D D No D 0,02 0,98 0,05 0,95 0,70·0,02 = 0,014 0,30·0,05 = 0,015
Bayes compara el camino \(A\cap D\) con todos los caminos que terminan en \(D\).
05
Ejemplo resuelto

Pieza defectuosa y máquina de origen

Una fábrica tiene dos máquinas:

  • A produce el 70% de las piezas y tiene un 2% de defectuosas.
  • B produce el 30% y tiene un 5% de defectuosas.

Se elige una pieza defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina A?

1. Definimos sucesos.

\[ A:\text{ pieza de la máquina A}, \qquad B:\text{ pieza de la máquina B} \]
\[ D:\text{ pieza defectuosa} \]

2. Escribimos los datos.

\[ P(A)=0,7, \qquad P(B)=0,3 \]
\[ P(D\mid A)=0,02, \qquad P(D\mid B)=0,05 \]

3. Calculamos la probabilidad total de obtener una pieza defectuosa.

\[ \begin{aligned} P(D) &= P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)\\ &= 0,7\cdot0,02+0,3\cdot0,05\\ &= 0,014+0,015\\ &= 0,029 \end{aligned} \]

4. Aplicamos Bayes.

\[ P(A\mid D)= \frac{P(A)P(D\mid A)}{P(D)} \]
\[ P(A\mid D)= \frac{0,7\cdot0,02}{0,029} = \frac{0,014}{0,029} \]
\[ \boxed{ P(A\mid D)\approx0,483} \]

La probabilidad de que la pieza defectuosa provenga de la máquina A es aproximadamente del \(48,3\%\).

06
Lectura del resultado

Por qué no basta con mirar la producción inicial

Aunque la máquina A fabrica el 70% de las piezas, su porcentaje de defectos es menor. Bayes combina ambos datos: producción inicial y probabilidad de defecto dentro de cada máquina.

\[ P(A\cap D)=0,014, \qquad P(B\cap D)=0,015 \]

Entre las piezas defectuosas, el camino de B tiene ligeramente más peso que el de A.

07
Biblioteca PAU

Practica Bayes con problemas oficiales

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de máquinas, pruebas diagnósticas, urnas, proveedores y clasificación de individuos.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

El denominador reúne todas las formas de obtener el resultado

El numerador es el camino de la causa preguntada y el denominador es la probabilidad total del resultado observado.

CausaSuceso previo \(A_i\).
ResultadoSuceso observado \(B\).
Numerador\(P(A_i)P(B\mid A_i)\).
DenominadorProbabilidad total de \(B\).

Errores frecuentes

Confundir \(P(A\mid B)\) con \(P(B\mid A)\)Bayes relaciona ambas, pero no son iguales.
No calcular antes la probabilidad totalEl denominador debe incluir todos los caminos que producen el resultado.
Ir directamente a los númerosPrimero deben definirse los sucesos y escribirse la fórmula.

Resumen del tema

Bayes actualiza la probabilidad de una causa al observar un resultado. Combina la probabilidad inicial de la causa, la probabilidad del resultado condicionado a esa causa y la probabilidad total del resultado.

Debes saber

  • Definir causas y resultado.
  • Extraer probabilidades directas.
  • Calcular probabilidad total.
  • Aplicar Bayes.
  • Interpretar la probabilidad posterior.
Scroll al inicio