Matemáticas II · Probabilidad · Tema 05

Variable aleatoria

Aprende a transformar los resultados de un experimento aleatorio en valores numéricos y a distinguir variables discretas y continuas.

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El puente entre los experimentos y las distribuciones

Una variable aleatoria asigna un número real a cada resultado de un experimento. Esta traducción permite organizar las probabilidades y preparar el estudio de las distribuciones binomial y normal.

1Definir una variable aleatoria
2Distinguir discreta y continua
3Interpretar valores y probabilidades
01
Definición

Qué es una variable aleatoria

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del experimento aleatorio.

\[ \boxed{X:\Omega\longrightarrow\mathbb R} \]
i El nombre «aleatoria» no significa que la función cambie al azar: lo aleatorio es el resultado del experimento al que la función asigna un valor.
02
Ejemplo original

Número de caras al lanzar dos monedas

Se lanzan dos monedas y se define:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]
\[ \Omega=\{CC,CX,XC,XX\} \]
\[ X(CC)=2 \]
\[ X(CX)=X(XC)=1 \]
\[ X(XX)=0 \]
\[ \boxed{X\in\{0,1,2\}} \]
03
Clasificación

Variables discretas y continuas

Variable aleatoria discreta

Toma valores aislados y contables.

\[ X\in\{x_1,x_2,\ldots\} \]

Ejemplos: número de caras, resultado de un dado o número de alumnos ausentes.

Variable aleatoria continua

Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

\[ X\in[a,b] \]

Ejemplos: altura, peso, tiempo de espera o temperatura.

04
Función de probabilidad

Probabilidades de una variable discreta

Si \(X\) toma los valores \(x_1,x_2,\ldots\), se asigna a cada valor una probabilidad:

\[ p_i=P(X=x_i) \]
\[ \boxed{ p_i\geq0, \qquad \sum_i p_i=1} \]

Distribución del número de caras en dos monedas

Valor de \(X\) \(0\) \(1\) \(2\)
Resultados asociados \(XX\) \(CX,XC\) \(CC\)
\(P(X=x_i)\) \(\frac14\) \(\frac24=\frac12\) \(\frac14\)
\[ \frac14+\frac12+\frac14=1 \]
05
Ejemplo discreto original

Resultado de un dado

Se lanza un dado equilibrado y se define:

\[ X=\text{resultado obtenido} \]
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
\[ \boxed{ P(X=1)=P(X=2)=\cdots=P(X=6)=\frac16} \]
06
Mejora autorizada

Probabilidades de una variable continua

En una variable continua las probabilidades se calculan sobre intervalos. La probabilidad de un valor aislado es cero.

\[ \boxed{P(X=x)=0} \]
\[ \boxed{P(a < x < b)} \]
i Que \(P(X=x)=0\) no significa que el valor sea imposible; expresa que un solo punto no tiene área en una distribución continua.
07
Ejemplo continuo original

Altura de un alumno

\[ X=\text{altura de un alumno} \]

No se asigna probabilidad positiva a una altura exacta:

\[ P(X=1,70)=0 \]

En cambio, sí se calculan probabilidades en intervalos:

\[ \boxed{P(1,60 < x < 1,80)} \]
08
Siguientes modelos

Conexión con binomial y normal

Variables discretas

Conducen a modelos como la distribución binomial.

\[ X\sim B(n,p) \]

Variables continuas

Conducen a modelos como la distribución normal.

\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
09
Biblioteca PAU

Identifica la variable de cada problema

Práctica recomendada:

En los problemas oficiales conviene comenzar definiendo la variable aleatoria e indicando si es discreta o continua antes de aplicar el modelo.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

Una variable aleatoria transforma resultados en números

Las variables discretas toman valores aislados con probabilidades puntuales. Las continuas toman valores en intervalos y cada valor aislado tiene probabilidad cero.

VariableFunción \(X:\Omega\to\mathbb R\).
DiscretaValores aislados y contables.
ContinuaValores en intervalos.
ProbabilidadEn continua, \(P(X=x)=0\).

Errores frecuentes

Confundir resultado y valor de la variableVarios resultados pueden producir el mismo valor de \(X\).
Asignar probabilidad positiva a un valor continuoEn una variable continua, \(P(X=x)=0\).
No comprobar la sumaEn una distribución discreta, todas las probabilidades deben sumar 1.

Resumen del tema

Una variable aleatoria asigna números a resultados. Puede ser discreta si toma valores aislados o continua si toma cualquier valor de un intervalo. Este concepto conecta la probabilidad clásica con las distribuciones.

Debes saber

  • Definir \(X\).
  • Asignar valores a los resultados.
  • Distinguir discreta y continua.
  • Construir una tabla discreta.
  • Interpretar \(P(X=x)=0\) en continua.
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