Teorema de la probabilidad total
Aprende a calcular la probabilidad de un suceso cuando puede producirse por distintos caminos o situaciones previas.
Este tema es fundamental para organizar problemas con varias ramas, interpretar correctamente los datos del enunciado y preparar el paso natural al teorema de Bayes.
Idea básica
El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso cuando ese suceso puede ocurrir a través de varios casos distintos. La idea central es dividir el problema en caminos incompatibles, calcular la probabilidad de cada uno y sumar los resultados.
Cuándo se utiliza
Este teorema aparece cuando el enunciado describe una situación en la que un resultado final depende de una clasificación previa. Por ejemplo:
- mañana, tarde o noche;
- máquina A, máquina B o máquina C;
- grupo 1, grupo 2 o grupo 3.
En todos estos casos, el suceso que queremos estudiar puede producirse por varias ramas, y eso nos obliga a organizar bien la información antes de empezar a operar.
Qué conviene hacer antes de calcular
En este tipo de ejercicios, lo importante es empezar ordenando bien el planteamiento:
- definir claramente los sucesos con letras;
- escribir las probabilidades que se deducen del enunciado;
- poner la fórmula con letras antes de sustituir números.
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Qué debes recordar
Definición formal
Si \(A_1, A_2, \dots, A_n\) forman una partición del espacio muestral, entonces para cualquier suceso \(B\):
\[
P(B)=P(A_1)\cdot P(B|A_1)+P(A_2)\cdot P(B|A_2)+\cdots+P(A_n)\cdot P(B|A_n)
\]
Esto significa que:
- cada \(A_i\) representa uno de los casos posibles;
- cada producto representa un camino completo;
- la probabilidad final se obtiene sumando todos esos caminos.
El árbol: útil, pero no suficiente
El árbol puede ser muy útil para visualizar el problema y no perderse en las ramas, pero no debe sustituir el planteamiento escrito aplicando el Teorema de la Probabilidad total.
Ejemplo resuelto
El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde 150 y por la noche 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan es del 2% por la mañana, del 4% por la tarde y del 6% por la noche.
Calcula la probabilidad de que un vuelo llegue con retraso a ese aeropuerto.
1. Definimos sucesos
\[
M: \text{el vuelo llega por la mañana}
\]
\[
T: \text{el vuelo llega por la tarde}
\]
\[
N: \text{el vuelo llega por la noche}
\]
\[
R: \text{el vuelo llega con retraso}
\]
2. Probabilidades que se deducen del enunciado
El total de vuelos es:
\[
120+150+30=300
\]
Por tanto:
\[
P(M)=\frac{120}{300}=0.4
\]
\[
P(T)=\frac{150}{300}=0.5
\]
\[
P(N)=\frac{30}{300}=0.1
\]
Y además:
\[
P(R|M)=0.02,\qquad P(R|T)=0.04,\qquad P(R|N)=0.06
\]
3. Escribimos la fórmula con letras
\[
P(R)=P(M)\cdot P(R|M)+P(T)\cdot P(R|T)+P(N)\cdot P(R|N)
\]
4. Sustituimos los valores
\[
P(R)=\frac{120}{300}\cdot 0.02+\frac{150}{300}\cdot 0.04+\frac{30}{300}\cdot 0.06
\]
\[
P(R)=0.008+0.02+0.006=0.034
\]
Resultado:
\[
P(R)=0.034
\]
Qué errores hay que evitar
- Empezar a multiplicar números sin definir antes los sucesos.
- Confundir \(P(R|M)\) con \(P(M|R)\).
- Escribir solo el árbol sin justificar con fórmulas la resolución.
- Olvidar que la probabilidad total es una suma de caminos, no una sola multiplicación.
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Cómo estudiar este tema
Mi recomendación es que, en cada ejercicio, sigas siempre el mismo orden: define sucesos, escribe las probabilidades del enunciado, plantea la fórmula general con letras y solo al final sustituyas números. Ese esquema te ayuda a no cometer errores y te prepara muy bien para enlazar con Bayes.
Resumen final
- La probabilidad total se usa cuando un suceso puede ocurrir por varios caminos distintos.
- Lo primero es definir correctamente los sucesos.
- Después se escriben las probabilidades deducidas del enunciado.
- La fórmula se plantea con letras antes de sustituir números.
- El resultado final se obtiene sumando las probabilidades de todos los caminos.
- Este tema es la base inmediata para entender el teorema de Bayes.