Matemáticas II · Probabilidad · Tema 03

Teorema de la probabilidad total

Aprende a calcular la probabilidad de un suceso que puede producirse a través de varios caminos incompatibles.

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Dividir el problema en caminos y sumar sus probabilidades

La probabilidad total se utiliza cuando un resultado final depende de una clasificación previa: turno, máquina, grupo, proveedor o cualquier otra partición del espacio muestral.

1Reconocer una partición
2Organizar los caminos
3Sumar probabilidades completas
01
Cuándo se utiliza

Un resultado final con varias situaciones previas

Turnos

Mañana, tarde o noche.

Máquinas

Máquina A, B o C.

Grupos

Grupo 1, 2 o 3.

i Cada producto representa un camino completo. La probabilidad final se obtiene sumando todos los caminos que conducen al suceso buscado.
02
Mejora autorizada

Qué significa formar una partición

Los sucesos \(A_1,\dots,A_n\) forman una partición del espacio muestral si cumplen simultáneamente estas condiciones:

Incompatibilidad dos a dos

\[ A_i\cap A_j=\varnothing \quad(i\neq j) \]

No pueden ocurrir dos ramas previas a la vez.

Exhaustividad

\[ A_1\cup\cdots\cup A_n=\Omega \]

Las ramas cubren todos los casos posibles.

Probabilidad positiva

\[ P(A_i)>0 \]

Permite definir las probabilidades condicionadas de cada rama.

03
Definición formal

Teorema de la probabilidad total

\[ \boxed{ P(B)= \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)} \]
\[ P(B)= P(A_1)P(B\mid A_1)+ \cdots+ P(A_n)P(B\mid A_n) \]
04
Orden de resolución

Qué conviene hacer antes de calcular

Paso 1Sucesos

Define con letras

Identifica las ramas previas y el resultado final.

Paso 2Datos

Escribe probabilidades

Distingue probabilidades iniciales y condicionadas.

Paso 3Fórmula

Plantea antes de sustituir

Escribe la suma de caminos con letras y después usa los números.

05
Visualización mediante código

Árbol de probabilidades

El árbol ayuda a visualizar las ramas, pero no sustituye el planteamiento escrito mediante el teorema de la probabilidad total.

Árbol de probabilidades del ejemplo de los vuelos Tres ramas para mañana, tarde y noche, cada una dividida en retraso y puntualidad. Inicio M T N 0,4 0,5 0,1 R No R R No R R No R 0,02 0,98 0,04 0,96 0,06 0,94 0,4·0,02 = 0,008 0,5·0,04 = 0,020 0,1·0,06 = 0,006
Los tres caminos que terminan en retraso se suman.
06
Ejemplo resuelto

Vuelos con retraso

El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde 150 y por la noche 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan es del 2% por la mañana, del 4% por la tarde y del 6% por la noche.

1. Definimos sucesos.

\[ M:\text{ mañana}, \qquad T:\text{ tarde}, \qquad N:\text{ noche} \]
\[ R:\text{ el vuelo llega con retraso} \]

2. Calculamos las probabilidades de cada turno.

\[ 120+150+30=300 \]
\[ P(M)=\frac{120}{300}=0,4 \]
\[ P(T)=\frac{150}{300}=0,5 \]
\[ P(N)=\frac{30}{300}=0,1 \]

3. Probabilidades condicionadas.

\[ P(R\mid M)=0,02, \qquad P(R\mid T)=0,04, \qquad P(R\mid N)=0,06 \]

4. Planteamos la fórmula.

\[ P(R)= P(M)P(R\mid M)+ P(T)P(R\mid T)+ P(N)P(R\mid N) \]

5. Sustituimos.

\[ \begin{aligned} P(R) &= \frac{120}{300}\cdot0,02+ \frac{150}{300}\cdot0,04+ \frac{30}{300}\cdot0,06\\ &= 0,008+0,020+0,006\\ &= 0,034 \end{aligned} \]
\[ \boxed{P(R)=0,034=3,4\%} \]
07
Biblioteca PAU

Practica árboles y probabilidad total

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de árboles, urnas, proveedores, máquinas y clasificaciones previas.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

Multiplica dentro de cada camino y suma caminos incompatibles

Las probabilidades iniciales forman una partición y cada producto combina una rama previa con la probabilidad condicionada del resultado final.

ParticiónRamas incompatibles que cubren \(\Omega\).
Camino\(P(A_i)P(B\mid A_i)\).
TotalSuma de todos los caminos.
ÁrbolAyuda a visualizar, pero no sustituye la fórmula.

Errores frecuentes

Empezar a multiplicar sin definir sucesosEl planteamiento debe dejar claro qué representa cada rama.
Confundir \(P(R\mid M)\) con \(P(M\mid R)\)Son preguntas distintas.
Escribir solo el árbolLa resolución debe incluir la fórmula de probabilidad total.

Resumen del tema

La probabilidad total calcula un resultado que puede alcanzarse por varios caminos. Primero se define una partición, después se calcula la probabilidad de cada camino y finalmente se suman todos.

Debes saber

  • Reconocer una partición.
  • Definir los sucesos.
  • Construir un árbol.
  • Plantear la fórmula con letras.
  • Sumar los caminos correctos.
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