Matemáticas I · Análisis · Tema 04

Asíntotas

Aprende a identificar y calcular asíntotas verticales, horizontales y oblicuas mediante límites y división de polinomios.

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Rectas que describen el comportamiento de una función

Una asíntota es una recta a la que se aproxima la gráfica de una función. Puede describir lo que ocurre cerca de un punto excluido del dominio o el comportamiento de la función cuando \(x\) crece sin límite.

1Localizar candidatas

2Calcular límites adecuados

3Interpretar las rectas obtenidas

Clasificación

Los tres tipos de asíntotas

Asíntota vertical

\[ x=a \]

Describe un crecimiento sin cota cerca de un valor finito de \(x\).

Asíntota horizontal

\[ y=L \]

Describe el valor finito al que se aproxima la función en el infinito.

Asíntota oblicua

\[ y=mx+n, \qquad m\neq0 \]

Describe una recta inclinada a la que se aproxima la gráfica.

Las verticales se estudian cerca de un punto; las horizontales y oblicuas, cuando \(x\) tiende a infinito.

Comportamiento cerca de un punto

Asíntotas verticales

La recta \(x=a\) es una asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales es infinito:

\[ \boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{o}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty} \]

i En funciones racionales, las candidatas suelen ser los ceros del denominador que permanecen después de simplificar la expresión.

Ejemplo 1 · Vertical y horizontal

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \]

1. Candidata vertical.

\[ x-3=0 \Longrightarrow x=3 \]

2. Límites laterales.

\[ \lim_{x\to3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty \]

\[ \lim_{x\to3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty \]

\[ \boxed{x=3\text{ es una asíntota vertical}} \]

No todo punto excluido es una asíntota

Hueco evitable y asíntota vertical

Ejemplo 2 · Factor que se simplifica

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]

\[ f(x)=x+1, \qquad x\neq1 \]

\[ \lim_{x\to1}f(x)=2 \]

\[ \boxed{x=1\text{ no es una asíntota vertical}} \]

La gráfica presenta un hueco en \((1,2)\), porque el límite es finito.

Comportamiento en el infinito

Asíntotas horizontales

La recta \(y=L\) es una asíntota horizontal si:

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \quad\text{o}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L} \]

Hay que estudiar ambos sentidos, porque una función puede tener comportamientos distintos cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) y a \(-\infty\).

Continuación del Ejemplo 1

\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2 \]

\[ \boxed{y=2\text{ es una asíntota horizontal}} \]

Cocientes de polinomios

Regla rápida de los grados

Comparación de grados	Comportamiento
Grado del numerador menor	Asíntota horizontal \(y=0\)
Grados iguales	Asíntota horizontal igual al cociente de coeficientes principales
Grado del numerador una unidad mayor	Puede existir una asíntota oblicua
Grado del numerador al menos dos unidades mayor	No hay horizontal ni oblicua lineal

Recta inclinada

Asíntotas oblicuas

Cuando no hay asíntota horizontal en un sentido del infinito, estudiamos si la función se aproxima a una recta \(y=mx+n\).

\[ \boxed{ m= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}} \]

\[ \boxed{ n= \lim_{x\to\pm\infty} \bigl(f(x)-mx\bigr)} \]

! Para que la asíntota sea oblicua, \(m\) debe ser finito y distinto de cero, y \(n\) debe ser finito.

Ejemplo 3 · División de polinomios

\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \]

1. Dividimos los polinomios.

\[ \frac{x^2+1}{x-1} = x+1+\frac{2}{x-1} \]

2. El término restante tiende a cero.

\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{2}{x-1} = 0 \]

\[ \boxed{y=x+1\text{ es una asíntota oblicua}} \]

Estudio global

Todas las asíntotas de una función

Ejemplo 4 · Función racional completa

\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \]

Asíntota vertical.

\[ x-1=0 \Longrightarrow x=1 \]

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty \]

Asíntota horizontal.

No existe porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.

Asíntota oblicua.

\[ f(x)=x+1+\frac{2}{x-1} \]

\[ \boxed{x=1,\qquad y=x+1} \]

La función se aproxima a una recta vertical cerca de \(x=1\) y a una recta oblicua cuando \(x\) tiende a infinito.

Guion de resolución

Método general

1 Calcula el dominio Localiza puntos excluidos y simplifica factores comunes.

2 Estudia verticales Calcula límites laterales en las candidatas.

3 Estudia horizontales Calcula los límites en \(+\infty\) y \(-\infty\).

4 Busca oblicuas Solo cuando no exista horizontal en ese sentido.

Biblioteca y preparación futura

Ejemplos relacionados

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Qué debes recordar

Empieza por el dominio y termina estudiando el infinito

Las verticales se localizan cerca de puntos conflictivos. Las horizontales y oblicuas describen el comportamiento cuando \(x\) crece sin límite.

VerticalAlgún límite lateral es infinito.

HorizontalEl límite en el infinito es finito.

OblicuaLa función se aproxima a \(mx+n\).

HuecoUn límite finito no produce asíntota vertical.

Errores frecuentes

Confundir un punto excluido con una asíntota Hay que calcular el límite; si es finito, aparece un hueco.

Estudiar solo \(+\infty\) El comportamiento puede ser distinto cuando \(x\) tiende a \(-\infty\).

Buscar horizontal y oblicua a la vez No pueden coexistir en el mismo sentido del infinito.

Resumen del tema

Las asíntotas son rectas que describen el comportamiento de una función. Se calculan mediante límites laterales, límites en el infinito y, para las oblicuas, mediante \(m\) y \(n\) o división de polinomios.

Debes saber

Calcular el dominio.
Distinguir hueco y vertical.
Calcular horizontales.
Comparar grados.
Obtener una oblicua por división.
Estudiar ambos infinitos.