Matemáticas II · Análisis · Tema 02

Cálculo de asíntotas

Aprende a identificar y calcular asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para describir con precisión el comportamiento de una función.

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Describir la dirección que siguen las ramas de una función

Una asíntota es una recta a la que la gráfica de una función se aproxima. Su estudio forma parte de la representación gráfica y exige calcular límites cerca de determinados puntos y cuando \(x\) tiende a infinito.

1Identificar los tres tipos de asíntotas

2Calcularlas mediante límites

3Interpretar cada resultado gráficamente

Idea fundamental

Qué es una asíntota

Las asíntotas describen el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor concreto o cuando crece, positiva o negativamente, sin límite.

Asíntota vertical

\[x=a\]

Describe el comportamiento de la función cerca de un valor finito de \(x\).

Asíntota horizontal

\[y=L\]

Describe un valor finito al que se aproxima la función en el infinito.

Asíntota oblicua

\[y=mx+n,\quad m\neq0\]

Describe una recta inclinada a la que se aproxima la función.

i Una función puede tener diferentes asíntotas cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\). Por eso deben estudiarse ambos sentidos por separado.

Comportamiento cerca de un punto

Asíntotas verticales

La recta \(x=a\) es una asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) es infinito.

\[ \boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{o}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty \Longrightarrow x=a } \]

Dónde buscar candidatas

En funciones racionales se estudian los ceros del denominador que no se eliminan al simplificar. También pueden aparecer en logaritmos, tangentes y otras funciones con comportamiento infinito.

El valor \(f(a)\) no decide la asíntota

Habitualmente \(a\) no pertenece al dominio, pero la función podría estar definida de manera aislada en \(a\). La asíntota depende de los límites laterales, no del valor asignado en el punto.

Ejemplo 1 · Asíntota vertical

Estudia la función \(\displaystyle f(x)=\frac1{x-1}\) cerca de \(x=1\)

\[ \lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty \]

Por tanto, la recta \(\boxed{x=1}\) es una asíntota vertical.

! Si un factor se simplifica completamente, puede aparecer una discontinuidad evitable en lugar de una asíntota vertical. Por ejemplo, \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) para \(x\neq1\).

Comportamiento en el infinito

Asíntotas horizontales

La recta \(y=L\) es una asíntota horizontal si la función tiende a un número real \(L\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \ \text{o}\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \Longrightarrow y=L } \]

Hay que calcular dos límites

Una función puede tener una asíntota horizontal diferente por la derecha y por la izquierda, o tenerla solo en uno de los dos sentidos.

Horizontal y oblicua

Si existe una asíntota horizontal en uno de los sentidos del infinito, no puede existir una asíntota oblicua en ese mismo sentido.

Ejemplo 2 · Asíntota horizontal

Calcula las asíntotas horizontales de \(\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{x}\)

\[ \frac{3x+1}{x}=3+\frac1x \]

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=3 \]

La asíntota horizontal en ambos sentidos es \(\boxed{y=3}\).

Atajo para funciones racionales

Grados	Comportamiento
\(\deg P<\deg Q\)	Asíntota horizontal \(y=0\).
\(\deg P=\deg Q\)	Asíntota horizontal igual al cociente de coeficientes principales.
\(\deg P>\deg Q\)	No hay asíntota horizontal; puede existir una oblicua o polinómica.

Aproximación a una recta inclinada

Asíntotas oblicuas

Si no existe una asíntota horizontal en un determinado sentido, podemos estudiar si la función se aproxima a una recta \(y=mx+n\).

Pendiente

\[ m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x \]

Para que la asíntota sea oblicua, \(m\) debe ser finito y distinto de cero.

Ordenada en el origen

\[ n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-mx\right) \]

El valor de \(n\) debe ser finito.

\[ \boxed{y=mx+n} \]

Ejemplo 3 · División algebraica

Estudia \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\)

\[ \frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x \]

Como \(\frac1x\to0\) cuando \(x\to\pm\infty\), la función se aproxima a:

\[ \boxed{y=x} \]

i En una función racional, si al dividir el numerador entre el denominador el cociente es una recta y el resto dividido por el denominador tiende a cero, esa recta es la asíntota oblicua.

Procedimiento completo

Método general para estudiar asíntotas

Paso 1Dominio

Busca candidatas verticales

Determina el dominio y localiza puntos en los que pueda aparecer comportamiento infinito.

Calcula los valores excluidos.
Simplifica antes de concluir.
Estudia los límites laterales.

Paso 2Infinito

Calcula horizontales

Estudia por separado \(+\infty\) y \(-\infty\).

Calcula ambos límites.
Si el resultado es finito, escribe \(y=L\).
No busques oblicua en ese mismo sentido.

Paso 3Oblicuas

Calcula \(m\) y \(n\)

Solo cuando no exista horizontal en el sentido estudiado.

Calcula \(m=\lim f(x)/x\).
Calcula \(n=\lim(f(x)-mx)\).
Escribe \(y=mx+n\).

Ejemplo completo

Estudio de todas las asíntotas

Ejemplo 4 · Estudio global

Determina las asíntotas de \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\)

1. Dominio y asíntota vertical. El dominio excluye \(x=1\).

\[ \lim_{x\to1^-}\frac{x^2+1}{x-1}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac{x^2+1}{x-1}=+\infty \]

Por tanto, \(\boxed{x=1}\) es una asíntota vertical.

2. Asíntota horizontal. El numerador tiene mayor grado que el denominador, por lo que no hay asíntota horizontal.

3. Asíntota oblicua. Realizamos la división:

\[ \frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac2{x-1} \]

Como \(\frac2{x-1}\to0\) cuando \(x\to\pm\infty\), la asíntota oblicua es:

\[ \boxed{y=x+1} \]

Qué debes recordar

Cada tipo de asíntota se obtiene con un límite diferente

Las verticales se estudian cerca de puntos finitos; las horizontales y oblicuas, en \(+\infty\) y \(-\infty\). Mantén siempre separados ambos sentidos.

Vertical\(\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\)

Horizontal\(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\)

Oblicua\(m=\lim f(x)/x\)

Ordenada\(n=\lim(f(x)-mx)\)

Errores frecuentes

Confundir un punto excluido con una asíntotaHay que calcular los límites laterales; un hueco evitable no es una asíntota vertical.

Estudiar solo \(+\infty\)La función puede tener un comportamiento diferente cuando \(x\to-\infty\).

Buscar oblicua cuando ya hay horizontalNo pueden coexistir en el mismo sentido del infinito.

Practica

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1

\[f(x)=\frac1{x-2}\]

Determina todas sus asíntotas.

Ejercicio 2

\[f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\]

Estudia las asíntotas verticales y horizontales.

Ejercicio 3

\[f(x)=\frac{x^2}{x+1}\]

Calcula la asíntota vertical y la oblicua.

Ejercicio 4

\[f(x)=\frac{x^2+1}{x}\]

Analiza todas sus asíntotas.

Resumen del tema

Empieza siempre por el dominio y las posibles asíntotas verticales. Después calcula los límites en \(+\infty\) y \(-\infty\): si son finitos, obtendrás horizontales; si no lo son, estudia una posible oblicua.

Debes saber

Interpretar los tres tipos de asíntotas.
Calcular límites laterales.
Estudiar ambos infinitos.
Calcular \(m\) y \(n\).
Usar la división de polinomios.