Profesor David Sánchez Ortiz | www.davidso.es | contacto@davidso.es
En esta lección aprenderás a calcular asíntotas de funciones, un contenido clave dentro del estudio de funciones en Matemáticas 2 de Bachillerato.
Las asíntotas permiten describir el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a ciertos valores o tiende a infinito. Son fundamentales para representar funciones y aparecen con frecuencia en ejercicios de la PAU.
🎯 Objetivos de esta lección
- Identificar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
- Calcular asíntotas mediante límites.
- Relacionar las asíntotas con el dominio de la función.
- Interpretar el comportamiento de la función en el infinito.
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🔴 Asíntotas verticales
Si \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\pm\infty \), entonces hay una asíntota vertical en \( x=a \), siendo \( a \) un punto fuera del dominio.
Para determinar completamente la asíntota, conviene calcular los límites laterales y ver si la función tiende a \( +\infty \) o \( -\infty \).
Ejemplo:
\[ \lim_{x \to 1}\frac{1}{x-1} \]
Existe una asíntota vertical en \( x=1 \).
🔵 Asíntotas horizontales
- Si \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \), hay una asíntota horizontal por la derecha en \( y=L \)
- Si \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \), hay una asíntota horizontal por la izquierda en \( y=L \)
- Es necesario calcular ambos límites: en \( +\infty \) y \( -\infty \).
- Si existe una asíntota horizontal en un lado, no puede existir una oblicua en ese mismo lado.
Ejemplo:
\[ \lim_{x \to \infty}\frac{3x+1}{x}=3 \]
Existe una asíntota horizontal en \( y=3 \).
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🟣 Asíntotas oblicuas
Se buscan cuando no existen asíntotas horizontales. En este caso, la función se aproxima a una recta de la forma:
\[ y = mx + n \]
- Pendiente: \( \displaystyle m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \)
- Ordenada: \( \displaystyle n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) \)
En funciones racionales, si al dividir el numerador entre el denominador el cociente es una recta, esa recta es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
\[ \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x} \]
La asíntota oblicua es \( y=x \).
🧠 Consejos
- Empieza siempre estudiando el dominio (clave para las verticales).
- Comprueba primero las horizontales antes de buscar oblicuas.
- En funciones racionales, fíjate en los grados de los polinomios.
- No olvides analizar los dos infinitos: \( +\infty \) y \( -\infty \).
✏️ Ejercicios propuestos
- Determina las asíntotas de \( \frac{1}{x-2} \)
- Estudia las asíntotas de \( \frac{2x+1}{x-1} \)
- Calcula las asíntotas de \( \frac{x^2}{x+1} \)
- Analiza las asíntotas de \( \frac{x^2+1}{x} \)
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Continúa con el siguiente tema para completar el bloque de análisis: