Matemáticas II · Álgebra · Tema 03

Determinantes

Aprende a calcular determinantes de orden 2 y 3, aplicar correctamente la regla de Sarrus y desarrollar determinantes de orden superior por cofactores.

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Asociar un número a una matriz cuadrada

El determinante permite estudiar si una matriz tiene inversa, calcular rangos y resolver sistemas. Su cálculo debe realizarse con especial cuidado en los signos.

1Calcular determinantes de orden 2
2Aplicar Sarrus únicamente en orden 3
3Desarrollar por una fila o columna
01
Definición

Qué es un determinante

El determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada. Solo tiene sentido hablar del determinante cuando el número de filas y columnas coincide.

\[ A\in M_{n\times n} \qquad\Longrightarrow\qquad |A|\in\mathbb{R} \]
! Una matriz rectangular no tiene determinante. Los determinantes se representan siempre mediante barras verticales.
02
Diferencia de productos cruzados

Determinante de orden 2

\[ \boxed{ \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} =ad-bc} \]
Ejemplo 1 · Orden 2

Calcula el determinante

\[ \begin{vmatrix} 3&-1\\ 2&4 \end{vmatrix} = 3\cdot4-(-1)\cdot2 = 12+2 = \boxed{14} \]
i El producto de la diagonal principal se escribe primero. Después se resta el producto de la diagonal secundaria.
03
Matrices de orden 3

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un procedimiento específico para determinantes de orden \(3\). No puede aplicarse directamente a determinantes de orden \(4\) o superior.

\[ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \]
1. Repite columnas

Copia las dos primeras columnas a la derecha del determinante.

2. Suma descendentes

Suma los productos de las tres diagonales que descienden.

3. Resta ascendentes

Resta los productos de las tres diagonales que ascienden.

Ejemplo 2 · Sarrus paso a paso

Calcula

\[ \begin{vmatrix} 1&2&0\\ 3&-1&2\\ 2&1&1 \end{vmatrix} \]

Productos con signo positivo:

\[ 1\cdot(-1)\cdot1 + 2\cdot2\cdot2 + 0\cdot3\cdot1 = -1+8+0=7 \]

Productos que se restan:

\[ 0\cdot(-1)\cdot2 + 2\cdot3\cdot1 + 1\cdot2\cdot1 = 0+6+2=8 \]
\[ \boxed{7-8=-1} \]
04
Método general

Desarrollo por cofactores

Para determinantes de orden superior se desarrolla por una fila o columna. Conviene elegir aquella que tenga más ceros.

Menor complementario

\(M_{ij}\) es el determinante que queda al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

Cofactor

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]
\[ \boxed{ |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} +\cdots+ a_{in}A_{in}} \]
\[ \begin{pmatrix} +&-&+&-\cdots\\ -&+&-&+\cdots\\ +&-&+&-\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \]
i Los menores, cofactores y la matriz adjunta se estudiarán con más detalle en el tema siguiente. Aquí se utilizan para desarrollar determinantes.
05
Aprovechar los ceros

Ejemplo de desarrollo por una fila

Ejemplo 3 · Primera fila

Calcula

\[ \begin{vmatrix} 2&0&0\\ 1&3&4\\ 5&2&1 \end{vmatrix} \]

Desarrollamos por la primera fila, que contiene dos ceros:

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2&0&0\\ 1&3&4\\ 5&2&1 \end{vmatrix} &= 2 \begin{vmatrix} 3&4\\ 2&1 \end{vmatrix}\\ &= 2(3\cdot1-4\cdot2)\\ &= 2(3-8)\\ &= \boxed{-10} \end{aligned} \]
06
Determinantes con parámetros

Valores que anulan un determinante

Cuando aparece un parámetro, se calcula el determinante como una expresión algebraica y después se resuelve la ecuación obtenida.

Ejemplo 4 · Parámetro

Determina los valores de \(a\) para los que el determinante se anula

\[ \begin{vmatrix} 1&a&0\\ 0&2&1\\ 1&0&1 \end{vmatrix} \]

Desarrollamos por la primera fila:

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1&a&0\\ 0&2&1\\ 1&0&1 \end{vmatrix} &= 1 \begin{vmatrix} 2&1\\ 0&1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} 0&1\\ 1&1 \end{vmatrix}\\ &= 2-a(-1)\\ &= a+2 \end{aligned} \]
\[ a+2=0 \Longrightarrow \boxed{a=-2} \]
07
Consecuencias

Qué información proporciona

Determinante no nulo

\[ |A|\neq0 \]

La matriz cuadrada tiene rango máximo, posee inversa y el sistema cuadrado asociado tiene solución única.

Determinante nulo

\[ |A|=0 \]

La matriz no tiene inversa. Para estudiar rangos o sistemas habrá que analizar menores de orden inferior.

08
Biblioteca PAU

Practica con determinantes publicados

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Álgebra puedes localizar ejercicios que combinan determinantes con matrices inversas, rango y discusión de sistemas.

Abrir la biblioteca y filtrar por «Determinantes» →
Qué debes recordar

Sarrus solo sirve para orden 3

Para orden 2 se utilizan los productos cruzados. Para orden 3 puede utilizarse Sarrus. Para órdenes superiores se desarrollan cofactores y se aprovechan filas o columnas con ceros.

Orden 2Diagonal principal menos secundaria.
Orden 3Regla de Sarrus.
Orden superiorDesarrollo por cofactores.
ParámetrosCalcula, iguala a cero y resuelve.

Errores frecuentes

Aplicar Sarrus en orden 4La regla de Sarrus solo es válida para determinantes de orden 3.
Perder los signos de los cofactoresDebes respetar el patrón alternado \(+,-,+,\ldots\).
Hablar del determinante de una matriz rectangularSolo las matrices cuadradas tienen determinante.

Resumen del tema

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. En orden 2 se calcula mediante productos cruzados, en orden 3 puede utilizarse Sarrus y en órdenes superiores se desarrolla por cofactores.

Debes saber

  • Reconocer matrices cuadradas.
  • Calcular orden 2.
  • Aplicar Sarrus con signos.
  • Desarrollar por cofactores.
  • Resolver parámetros.
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