Matemáticas II · Álgebra · Tema 05

Propiedades de los determinantes

Aprende a reconocer determinantes nulos, controlar el efecto de las operaciones elementales y simplificar cálculos antes de desarrollar.

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Simplificar antes de calcular

En determinantes grandes, desarrollar directamente suele ser el camino más largo. Las propiedades permiten crear ceros, detectar dependencias y relacionar determinantes sin repetir todos los cálculos.

1Detectar determinantes nulos

2Controlar factores y cambios de signo

3Triangular y calcular con rapidez

Cero inmediato

Filas o columnas dependientes

Dos filas o columnas iguales

Si dos filas o dos columnas coinciden, el determinante vale cero.

\[ \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 1&2&3 \end{vmatrix} =0 \]

Fila o columna nula

Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero.

\[ \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&0&0\\ 4&5&6 \end{vmatrix} =0 \]

Filas o columnas proporcionales

Si una fila es múltiplo de otra, existe dependencia y el determinante se anula.

\[ \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&6 \end{vmatrix} =0 \]

Combinación lineal

Si una fila es combinación lineal de otras, el determinante también vale cero.

Permutar filas o columnas

Intercambiar cambia el signo

\[ \boxed{ \text{Intercambiar dos filas o columnas} \Longrightarrow \text{multiplicar el determinante por }-1} \]

Ejemplo 1 · Cambio de signo

\[ \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{vmatrix} = 1\cdot4-2\cdot3 = -2 \]

Intercambiamos las dos filas:

\[ \begin{vmatrix} 3&4\\ 1&2 \end{vmatrix} = 3\cdot2-4\cdot1 = 2 \]

\[ \boxed{2=-(-2)} \]

Factor común

Multiplicar una fila o columna por un número

\[ \boxed{ F_i\longrightarrow kF_i \Longrightarrow \text{el determinante queda multiplicado por }k} \]

Ejemplo 2 · Factor de una fila

\[ \begin{vmatrix} 2&4\\ 3&5 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&5 \end{vmatrix} \]

Solo se extrae el factor de la fila completa en la que aparece.

! Multiplicar una sola fila por \(k\) multiplica el determinante por \(k\). Multiplicar toda una matriz de orden \(n\) por \(k\) multiplica todas sus filas y produce un factor total \(k^n\).

\[ \boxed{|kA|=k^n|A|} \]

Operación tipo Gauss

Sumar a una fila un múltiplo de otra

Esta operación no modifica el valor del determinante y es la herramienta principal para crear ceros.

\[ \boxed{ F_i\longrightarrow F_i+kF_j \Longrightarrow \text{el determinante no cambia}} \]

Ejemplo 3 · Crear un cero

\[ \begin{vmatrix} 1&2\\ 3&5 \end{vmatrix} \overset{F_2\to F_2-3F_1}{=} \begin{vmatrix} 1&2\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1 \]

Cálculo rápido

Determinante triangular

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.

\[ \boxed{ \begin{vmatrix} a_{11}&*&*\\ 0&a_{22}&*\\ 0&0&a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}} \]

Ejemplo 4 · Matriz triangular

\[ \begin{vmatrix} 2&1&4\\ 0&-3&5\\ 0&0&6 \end{vmatrix} = 2\cdot(-3)\cdot6 = \boxed{-36} \]

Producto e inversa

Determinante de un producto

Producto de matrices

\[ \boxed{|AB|=|A||B|} \]

Matriz inversa

\[ \boxed{|A^{-1}|=\frac1{|A|}} \]

Solo cuando \(A^{-1}\) existe.

La igualdad \(|AB|=|A||B|\) no significa que \(AB=BA\). La propiedad se refiere únicamente al valor de los determinantes.

Filas y columnas

Determinante de la traspuesta

\[ \boxed{|A^T|=|A|} \]

Ejemplo 5 · Traspuesta

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}, \qquad A^T= \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&4 \end{pmatrix} \]

\[ |A|=-2, \qquad |A^T|=-2 \]

Separación de una fila o columna

Linealidad

Si una fila completa se expresa como suma de dos filas, el determinante puede separarse como suma de dos determinantes. El resto de filas debe permanecer idéntico.

\[ \begin{vmatrix} a_1+b_1&a_2+b_2\\ c_1&c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1&a_2\\ c_1&c_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1&b_2\\ c_1&c_2 \end{vmatrix} \]

i La linealidad se aplica a una fila o columna completa. No permite separar libremente elementos aislados del determinante.

Ejemplo completo

Simplificar mediante operaciones elementales

Ejemplo 6 · Triangularización

Calcula

\[ D= \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&5&3\\ 3&8&5 \end{vmatrix} \]

Aplicamos operaciones que no modifican el determinante:

\[ F_2\to F_2-2F_1, \qquad F_3\to F_3-3F_1 \]

\[ D= \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 0&1&1\\ 0&2&2 \end{vmatrix} \]

Ahora hacemos \(F_3\to F_3-2F_2\):

\[ D= \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{vmatrix} = \boxed0 \]

Biblioteca PAU

Aplicar propiedades en problemas reales

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar ejercicios de determinantes, inversas, rango y sistemas. En muchos de ellos estas propiedades permiten reducir notablemente el cálculo.

Abrir la biblioteca de problemas de Matemáticas II →

Qué debes recordar

Cada operación elemental tiene un efecto diferente

Intercambiar cambia el signo; multiplicar una fila introduce un factor; y sumar a una fila un múltiplo de otra no modifica el determinante.

IntercambioMultiplica por \(-1\).

FactorMultiplica por \(k\).

Suma de filasNo cambia el valor.

TriangularProducto de la diagonal.

Errores frecuentes

Olvidar el cambio de signoIntercambiar dos filas o columnas multiplica el determinante por \(-1\).

Confundir \(F_i\to kF_i\) con \(kA\)En una matriz de orden \(n\), \(|kA|=k^n|A|\).

Pensar que toda operación de Gauss conserva el valorSolo sumar un múltiplo de otra fila lo deja igual.

Resumen del tema

Las propiedades de los determinantes permiten detectar ceros, extraer factores, controlar cambios de signo y triangular matrices. Aplicarlas correctamente suele ahorrar más tiempo que desarrollar directamente.

Debes saber

Reconocer dependencia entre filas.
Controlar intercambios.
Extraer factores correctamente.
Aplicar operaciones tipo Gauss.
Utilizar matrices triangulares.