Matemáticas II · Álgebra · Tema 10

Regla de Cramer

Resuelve sistemas cuadrados compatibles determinados sustituyendo columnas y calculando determinantes.

Una fórmula directa basada en determinantes

Cramer permite calcular cada incógnita sustituyendo su columna de coeficientes por la columna de términos independientes. Solo se aplica directamente cuando el sistema es cuadrado y \(|A|\neq0\).

1Comprobar las condiciones

2Construir \(A_x,A_y,A_z\)

3Calcular y comprobar la solución

Antes de aplicar la fórmula

Condiciones de la regla de Cramer

Sistema cuadrado

Debe haber el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

Determinante no nulo

\[ \boxed{|A|\neq0} \]

Entonces el sistema es compatible determinado.

! Si \(|A|=0\), Cramer no puede aplicarse directamente al sistema original. Hay que discutirlo mediante Gauss o Rouché-Frobenius.

Fórmula general

Cómo se construyen los determinantes

Para un sistema \(AX=b\), se sustituye la columna de cada incógnita por \(b\):

\[ \boxed{ x=\frac{|A_x|}{|A|}, \qquad y=\frac{|A_y|}{|A|}, \qquad z=\frac{|A_z|}{|A|}} \]

1Calcula \(|A|\)Comprueba que sea distinto de cero.

2Forma \(A_x\)Sustituye la columna de \(x\) por los términos independientes.

3Forma \(A_y,A_z\)Repite el proceso con cada incógnita.

4Divide y compruebaCalcula los cocientes y sustituye en el sistema.

Sistema \(2\times2\)

Ejemplo básico

Ejemplo 1 · Dos incógnitas

\[ \begin{cases} 2x+3y=7,\\ x-y=1. \end{cases} \]

1. Determinante principal.

\[ |A| = \begin{vmatrix} 2&3\\ 1&-1 \end{vmatrix} = -2-3 = -5 \]

2. Determinantes auxiliares.

\[ |A_x| = \begin{vmatrix} 7&3\\ 1&-1 \end{vmatrix} = -7-3 = -10 \]

\[ |A_y| = \begin{vmatrix} 2&7\\ 1&1 \end{vmatrix} = 2-7 = -5 \]

3. Solución.

\[ x=\frac{-10}{-5}=2, \qquad y=\frac{-5}{-5}=1 \]

\[ \boxed{(x,y)=(2,1)} \]

Ejemplo corregido y comprobado

Sistema \(3\times3\)

Ejemplo 2 · Tres incógnitas

\[ \begin{cases} x+y+z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+2y-z=2. \end{cases} \]

1. Determinante principal.

\[ |A| = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&-1&1\\ 1&2&-1 \end{vmatrix} = 7 \]

2. Sustituimos la primera columna.

\[ |A_x| = \begin{vmatrix} 6&1&1\\ 3&-1&1\\ 2&2&-1 \end{vmatrix} = 7 \]

3. Sustituimos la segunda columna.

\[ |A_y| = \begin{vmatrix} 1&6&1\\ 2&3&1\\ 1&2&-1 \end{vmatrix} = 14 \]

4. Sustituimos la tercera columna.

\[ |A_z| = \begin{vmatrix} 1&1&6\\ 2&-1&3\\ 1&2&2 \end{vmatrix} = 21 \]

5. Aplicamos Cramer.

\[ x=\frac7{7}=1, \qquad y=\frac{14}{7}=2, \qquad z=\frac{21}{7}=3 \]

\[ \boxed{(x,y,z)=(1,2,3)} \]

Control del resultado

Comprobación de la solución

\[ 1+2+3=6 \]

\[ 2\cdot1-2+3=3 \]

\[ 1+2\cdot2-3=2 \]

La solución satisface las tres ecuaciones.

Caso singular

Qué ocurre cuando \(|A|=0\)

Puede ser SCI

Los rangos de \(A\) y \(A^*\) coinciden, pero son menores que \(n\).

Puede ser SI

Los rangos de \(A\) y \(A^*\) son distintos.

! La igualdad \(|A|=0\) no permite decidir por sí sola si hay infinitas soluciones o ninguna. Solo indica que no existe una solución única obtenible directamente mediante Cramer.

Uso sobre un subsistema

Cramer en un sistema indeterminado

Cramer no se aplica directamente al sistema original cuando \(|A|=0\). Después de discutirlo, puede elegirse una variable libre y resolver un subsistema cuadrado cuyo determinante sea no nulo.

Ejemplo 3 · Reducción previa

\[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ 2x+2y+2z=6. \end{cases} \]

El sistema es SCI. Tomamos \(z=t\):

\[ x+y=3-t \]

En este caso basta despejar una variable. En sistemas más amplios puede elegirse un subsistema cuadrado de ecuaciones independientes y aplicar Cramer únicamente a ese subsistema.

Elección del método

Cramer, Gauss o inversa

Método	Cuándo resulta útil	Limitación principal
Cramer	Sistemas cuadrados pequeños con \(\|A\|\neq0\)	Exige varios determinantes
Gauss	Cualquier sistema lineal y discusión por filas	Requiere operaciones ordenadas
Matriz inversa	Sistemas \(AX=b\) con \(A^{-1}\) existente	Solo para matrices cuadradas invertibles

Biblioteca PAU

Practica sistemas de examen

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca de Matemáticas II para trabajar sistemas cuadrados, determinantes, discusión de parámetros y problemas contextualizados.

Abrir la biblioteca de problemas →

Qué debes recordar

Cada numerador sustituye una sola columna

En \(A_x\) se sustituye la columna de \(x\), en \(A_y\) la de \(y\) y en \(A_z\) la de \(z\). Las demás columnas conservan su posición.

Condición\(|A|\neq0\).

NumeradorSustituir la columna correspondiente.

Solución\(x_i=|A_i|/|A|\).

ControlComprobar en el sistema original.

Errores frecuentes

Sustituir una filaEn Cramer se sustituye una columna, no una fila.

Aplicar Cramer con \(|A|=0\)Primero hay que discutir el sistema por otro método.

Desordenar las columnasCada columna corresponde siempre a la misma incógnita.

Resumen del tema

La regla de Cramer resuelve sistemas cuadrados con determinante principal no nulo. Cada incógnita se obtiene sustituyendo su columna por los términos independientes y dividiendo el nuevo determinante entre \(|A|\).

Debes saber

Comprobar \(|A|\neq0\).
Construir los determinantes auxiliares.
Aplicar las fórmulas.
Interpretar el caso \(|A|=0\).
Comprobar la solución.