Probabilidad básica
Espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos y regla de Laplace explicados paso a paso.
Este es el punto de partida del bloque de Probabilidad. Si aquí entiendes bien el lenguaje y la estructura de los problemas, después todo encaja mucho mejor.
Idea básica
La probabilidad básica consiste en describir correctamente un experimento aleatorio, identificar los sucesos que intervienen y calcular la posibilidad de que ocurran. Antes de trabajar con Bayes o distribuciones, hay que dominar este lenguaje.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con total seguridad antes de realizarlo.
Ejemplos:
- lanzar un dado;
- extraer una carta de una baraja;
- elegir al azar a un alumno de una clase.
Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar por \(E\) o por \(\Omega\).
Ejemplo: al lanzar un dado:
\[
E=\{1,2,3,4,5,6\}
\]
Sucesos
Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.
- Suceso elemental: contiene un solo resultado.
- Suceso compuesto: contiene varios resultados.
- Suceso seguro: coincide con todo el espacio muestral.
- Suceso imposible: no contiene ningún resultado.
Ejemplo: al lanzar un dado:
\[
A=\{\text{salir número par}\}=\{2,4,6\}
\]
\[
B=\{\text{salir mayor que 4}\}=\{5,6\}
\]
Espacio reservado para anuncio
Qué debes recordar
Operaciones con sucesos
Con los sucesos se pueden hacer operaciones igual que con conjuntos.
Unión
\(A \cup B\): ocurre \(A\), ocurre \(B\) o ocurren ambos.
Intersección
\(A \cap B\): ocurren a la vez \(A\) y \(B\).
Complementario
\(\overline{A}\): no ocurre \(A\).
Sucesos incompatibles
Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si \(A\cap B=\varnothing\).
Definición clásica de probabilidad
Si todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, la probabilidad de un suceso \(A\) se calcula con la regla de Laplace:
\[
P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}
\]
Esta regla solo puede aplicarse cuando todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad.
Propiedades básicas de la probabilidad
- \[
0 \leq P(A) \leq 1
\] - \[
P(E)=1
\] - \[
P(\varnothing)=0
\] - \[
P(\overline{A})=1-P(A)
\] - Si \(A\) y \(B\) son incompatibles:
\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
\]
Ejemplo resuelto 1
Se lanza un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de obtener un número par.
Espacio muestral:
\[
E=\{1,2,3,4,5,6\}
\]
Suceso “salir número par”:
\[
A=\{2,4,6\}
\]
Hay 3 casos favorables y 6 posibles, luego:
\[
P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
Ejemplo resuelto 2
Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que sea un as o una copa.
Definimos:
\[
A=\{\text{salir un as}\}, \qquad B=\{\text{salir una copa}\}
\]
Entonces:
\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\]
En la baraja española:
- hay 4 ases;
- hay 10 copas;
- hay 1 as de copas.
Por tanto:
\[
P(A\cup B)=\frac{4+10-1}{40}=\frac{13}{40}
\]
Ejemplo resuelto 3
Se lanzan dos monedas equilibradas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.
Espacio muestral:
\[
E=\{CC, CX, XC, XX\}
\]
Suceso “al menos una cara”:
\[
A=\{CC, CX, XC\}
\]
Entonces:
\[
P(A)=\frac{3}{4}
\]
Espacio reservado para anuncio
Cómo estudiar este tema
Empieza identificando bien el experimento, el espacio muestral y los sucesos. Después trabaja las operaciones con sucesos y termina con la regla de Laplace. En este tema, los errores suelen venir más de interpretar mal que de calcular mal.
Resumen final
- Un experimento aleatorio tiene resultados imprevisibles antes de realizarse.
- El espacio muestral reúne todos los resultados posibles.
- Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.
- Las operaciones con sucesos se estudian como operaciones entre conjuntos.
- La regla de Laplace permite calcular probabilidades cuando todos los casos son equiprobables.
- Dominar este tema es imprescindible para avanzar en el resto del bloque de Probabilidad.