Matemáticas II · Probabilidad · Tema 01

Probabilidad básica

Espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, propiedades y regla de Laplace explicados paso a paso.

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El lenguaje que sostiene todo el bloque

Antes de trabajar con condicionadas, Bayes o distribuciones, hay que describir correctamente el experimento, identificar sus resultados posibles y definir los sucesos que intervienen.

1Construir el espacio muestral
2Operar con sucesos
3Aplicar la regla de Laplace
01
Idea inicial

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con total seguridad antes de realizarlo.

Lanzar un dado

No sabemos qué cara aparecerá.

Extraer una carta

La carta elegida depende del azar.

Elegir una persona

La elección aleatoria puede producir resultados distintos.

02
Todos los resultados

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa habitualmente por \(E\) o por \(\Omega\).

Ejemplo · Lanzamiento de un dado
\[ \boxed{\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}} \]
03
Subconjuntos de \(\Omega\)

Sucesos

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Elemental

Contiene un único resultado.

Compuesto

Contiene varios resultados.

Seguro

Coincide con todo el espacio muestral.

Imposible

No contiene ningún resultado.

Ejemplo · Sucesos al lanzar un dado
\[ A=\{\text{salir número par}\}=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{\text{salir mayor que 4}\}=\{5,6\} \]
04
Lenguaje de conjuntos

Operaciones con sucesos

Unión

\[ A\cup B \]

Ocurre \(A\), ocurre \(B\) o ocurren ambos.

Intersección

\[ A\cap B \]

Ocurren simultáneamente \(A\) y \(B\).

Complementario

\[ \overline A \]

No ocurre el suceso \(A\).

A A∩B B
i Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez: \(A\cap B=\varnothing\).
05
Casos equiprobables

Regla de Laplace

Si todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad, entonces:

\[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{casos favorables}} {\text{casos posibles}}} \]
! La regla de Laplace no puede aplicarse si los resultados elementales no son equiprobables.
06
Reglas fundamentales

Propiedades básicas

Acotación

\[ 0\leq P(A)\leq1 \]

Suceso seguro

\[ P(\Omega)=1 \]

Suceso imposible

\[ P(\varnothing)=0 \]

Complementario

\[ P(\overline A)=1-P(A) \]
07
Mejora autorizada

Probabilidad de la unión

Para dos sucesos cualesquiera, la probabilidad de la unión se calcula restando la intersección para no contarla dos veces:

\[ \boxed{ P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \]

Si los sucesos son incompatibles, entonces \(A\cap B=\varnothing\) y:

\[ \boxed{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)} \]
08
Ejemplo resuelto 1

Número par al lanzar un dado

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
\[ A=\{2,4,6\} \]

Hay tres casos favorables y seis posibles:

\[ \boxed{ P(A)=\frac36=\frac12} \]
09
Ejemplo resuelto 2

As o copa en una baraja española

Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de obtener un as o una copa.

\[ A=\{\text{salir un as}\}, \qquad B=\{\text{salir una copa}\} \]
\[ P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

Hay 4 ases, 10 copas y 1 as de copas:

\[ \boxed{ P(A\cup B)= \frac{4+10-1}{40} = \frac{13}{40}} \]
10
Ejemplo resuelto 3

Al menos una cara

Se lanzan dos monedas equilibradas.

\[ \Omega=\{CC,CX,XC,XX\} \]
\[ A=\{CC,CX,XC\} \]
\[ \boxed{P(A)=\frac34} \]
11
Biblioteca PAU

Practica el lenguaje de la probabilidad

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca de Probabilidad para localizar problemas de sucesos, operaciones, probabilidad condicionada y modelos de examen.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

Primero describe el experimento; después calcula

El espacio muestral reúne todos los resultados posibles y cada suceso es un subconjunto de ese espacio. La regla de Laplace solo se utiliza cuando todos los resultados son equiprobables.

Espacio muestralTodos los resultados posibles.
SucesoUn subconjunto de \(\Omega\).
UniónSuma menos intersección.
LaplaceSolo para casos equiprobables.

Errores frecuentes

Olvidar resultados del espacio muestralUn espacio incompleto altera todas las probabilidades posteriores.
Sumar sin restar la intersecciónEn la unión general, los casos comunes se contarían dos veces.
Aplicar Laplace sin equiprobabilidadNo basta con contar casos si no tienen la misma probabilidad.

Resumen del tema

La probabilidad básica describe experimentos aleatorios mediante espacios muestrales y sucesos. Las operaciones con conjuntos permiten combinar sucesos y la regla de Laplace calcula probabilidades en situaciones equiprobables.

Debes saber

  • Construir \(\Omega\).
  • Clasificar sucesos.
  • Calcular unión, intersección y complementario.
  • Aplicar la unión general.
  • Utilizar correctamente Laplace.
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