Aproximación binomial por la normal
Aprende a usar la distribución normal para aproximar probabilidades binomiales cuando los cálculos son grandes.
Este procedimiento permite resolver ejercicios de forma rápida cuando el número de ensayos es grande (n > 10).
Idea básica
Cuando el número de ensayos es grande, calcular probabilidades con la distribución binomial resulta complicado. En estos casos, se puede aproximar mediante una distribución normal.
Cuándo se puede usar
Se puede aplicar la aproximación cuando:
\[
np \geq 5 \quad \text{y} \quad n(1-p) \geq 5
\]
Este resultado se basa en el teorema de Moivre-Laplace, que establece que una distribución binomial se aproxima a una normal cuando el número de ensayos es grande.
Pasos para aplicar la aproximación
- Identificar la binomial \(B(n,p)\)
- Calcular media y desviación:
\[
\mu = np,\quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}
\]
- Aproximar por normal \(N(\mu,\sigma)\)
- Aplicar corrección de continuidad
- Tipificar y usar la tabla
Corrección de continuidad (corrección de Yates)
Para pasar de una variable discreta (binomial) a una continua (normal), se utiliza la corrección de continuidad, también conocida como corrección de Yates.
Igualdad
\(P(X = k)\approx P(k-0.5 < X < k+0.5)\)
Menor o igual
\(P(X \leq k)\approx P(X < k + 0.5)\)
Mayor o igual
\(P(X\geq k)\approx P(X>k-0.5)\)
Ejemplo resuelto
Se lanza una moneda 100 veces. Calcula la probabilidad de obtener como máximo 60 caras.
1. Identificamos
\[
X \sim B(100,0.5)
\]
2. Comprobamos condiciones
\[
np=50 \geq 5,\quad n(1-p)=50 \geq 5
\]
3. Calculamos parámetros
\[
\mu=50,\quad \sigma=\sqrt{25}=5
\]
4. Corrección de continuidad
\[
P(X\leq 60)\approx P(X<60.5)
\]
5. Tipificamos
\[
Z=\frac{60.5-50}{5}=2.1
\]
6. Tabla
\[
P(Z<2.1)=0.9821
\]
Resultado: 0.9821
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Errores habituales
- No comprobar condiciones.
- Olvidar la corrección de continuidad.
- Tipificar mal.
Cómo estudiar este tema
Practica identificar cuándo se puede usar la aproximación y domina la corrección de continuidad. Es el punto clave del tema.
Resumen final
- La binomial se puede aproximar por la normal.
- Hay que comprobar condiciones.
- Se aplica corrección de continuidad.
- Después se tipifica y se usa la tabla.