Matemáticas II · Probabilidad · Tema 08

Aproximación binomial por la normal

Aprende a sustituir una distribución binomial por una distribución normal, aplicando correctamente las condiciones y la corrección de continuidad.

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Pasar de una variable discreta a una continua

Cuando una binomial contiene muchos ensayos, sumar numerosas probabilidades exactas puede resultar poco práctico. Si se cumplen las condiciones adecuadas, puede aproximarse mediante una normal con la misma media y desviación típica.

1Comprobar las condiciones
2Aplicar continuidad
3Tipificar y usar la tabla
01
Idea básica

De la binomial a la normal

Sea \(X\) una variable binomial:

\[ X\sim B(n,p) \]

Tomamos:

\[ q=1-p \]

La normal aproximante \(Y\) tiene la misma media y desviación típica:

\[ \boxed{ Y\sim N\left( np, \sqrt{npq} \right)} \]

Binomial

Variable discreta que toma valores enteros.

\[ X\in\{0,1,\ldots,n\} \]

Normal aproximante

Variable continua que toma valores en intervalos.

\[ Y\sim N(\mu,\sigma) \]
02
Mejora autorizada

Condiciones para utilizar la aproximación

No basta con comprobar que \(n\) sea grande. La aproximación se utiliza cuando hay suficiente número esperado tanto de éxitos como de fracasos:

Éxitos esperados

\[ \boxed{np\geq5} \]

Fracasos esperados

\[ \boxed{n(1-p)\geq5} \]
! Las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente. Comprobar solo \(n\) no garantiza una aproximación adecuada.
03
Representación generada con código

Por qué la normal puede aproximar a la binomial

Comparación entre una distribución binomial y una curva normal Barras discretas de una distribución binomial y una curva normal continua superpuesta. μ = np Curva normal Valores binomiales
Las barras representan valores enteros de la binomial; la curva continua reproduce su forma cuando las condiciones de aproximación son adecuadas.
04
Procedimiento

Pasos para aplicar la aproximación

1 Identifica la binomial Escribe \(X\sim B(n,p)\) y calcula \(q=1-p\).
2 Comprueba condiciones Verifica \(np\geq5\) y \(nq\geq5\).
3 Calcula parámetros \(\mu=np\) y \(\sigma=\sqrt{npq}\).
4 Corrige continuidad Desplaza los límites en media unidad.
5 Tipifica Usa \(Z=(Y-\mu)/\sigma\) y consulta la tabla.
05
De discreta a continua

Corrección de continuidad

Cada valor entero \(k\) de la variable binomial se representa mediante el intervalo continuo centrado en \(k\):

\[ \boxed{ P(X=k) \approx P(k-0,5\lt Y\lt k+0,5)} \]
Corrección de continuidad para un valor entero k El valor entero k se transforma en el intervalo desde k menos cero coma cinco hasta k más cero coma cinco. k − 0,5 k k + 0,5 intervalo continuo asociado a k
El valor discreto \(k\) ocupa en la aproximación normal el intervalo comprendido entre \(k-0,5\) y \(k+0,5\).
06
Mejora autorizada

Tabla completa de correcciones

Probabilidad binomial Aproximación normal con continuidad
\(P(X=k)\) \(P(k-0,5\lt Y\lt k+0,5)\)
\(P(X\leq k)\) \(P(Y\lt k+0,5)\)
\(P(X\geq k)\) \(P(Y\gt k-0,5)\)
\(P(X\lt k)\) \(P(Y\lt k-0,5)\)
\(P(X\gt k)\) \(P(Y\gt k+0,5)\)
\(P(a\leq X\leq b)\) \(P(a-0,5\lt Y\lt b+0,5)\)
i Primero traduce correctamente el enunciado a una desigualdad binomial y después aplica la corrección de continuidad.
07
Ejemplo original completo

Cien lanzamientos de una moneda

Se lanza una moneda equilibrada 100 veces. Calcula la probabilidad de obtener como máximo 60 caras.

1. Identificamos la distribución binomial.

\[ X\sim B(100,0,5) \]
\[ n=100, \qquad p=0,5, \qquad q=0,5 \]

2. Comprobamos las condiciones.

\[ np=100\cdot0,5=50\geq5 \]
\[ nq=100\cdot0,5=50\geq5 \]

Las dos condiciones se cumplen.

3. Calculamos los parámetros de la normal aproximante.

\[ \mu=np=50 \]
\[ \sigma= \sqrt{npq} = \sqrt{100\cdot0,5\cdot0,5} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ Y\sim N(50,5) \]

4. Aplicamos la corrección de continuidad.

\[ P(X\leq60) \approx P(Y\lt60,5) \]

5. Tipificamos.

\[ z= \frac{60,5-50}{5} = \frac{10,5}{5} = 2,1 \]

6. Consultamos la tabla.

\[ P(Z\lt2,1)=0,9821 \]
\[ \boxed{ P(X\leq60) \approx 0,9821} \]

La probabilidad aproximada de obtener como máximo 60 caras es del \(98,21\%\).

08
Lectura del procedimiento

Qué aporta cada paso

Sin corrección de continuidad

\[ P(Y\leq60) \]

No representa completamente el valor discreto \(60\).

Con corrección de continuidad

\[ P(Y\lt60,5) \]

Incluye todo el intervalo continuo asociado a \(X=60\).

09
Biblioteca PAU

Practica aproximaciones binomial-normal

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de muestras grandes, proporciones, controles de calidad y aproximaciones con corrección de continuidad.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

Condiciones, continuidad y tipificación

La aproximación solo se aplica cuando hay suficientes éxitos y fracasos esperados. Después se corrigen los límites en media unidad y se trabaja con la normal estándar.

Condiciones\(np\geq5\) y \(nq\geq5\).
Media\(\mu=np\).
Desviación\(\sigma=\sqrt{npq}\).
ContinuidadLos límites se desplazan \(0,5\).

Errores frecuentes

Comprobar solo el tamaño de la muestra Deben verificarse \(np\geq5\) y \(nq\geq5\).
Olvidar la corrección de continuidad Estamos sustituyendo una variable discreta por otra continua.
Aplicar mal el desplazamiento La dirección de \(0,5\) depende de si el extremo está incluido.

Resumen del tema

Una binomial puede aproximarse por una normal de media \(np\) y desviación típica \(\sqrt{npq}\) cuando se cumplen las condiciones. La corrección de continuidad adapta los valores enteros a intervalos y después se tipifica.

Debes saber

  • Identificar \(n\), \(p\) y \(q\).
  • Comprobar las dos condiciones.
  • Calcular \(\mu\) y \(\sigma\).
  • Aplicar continuidad.
  • Tipificar y leer la tabla.
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