Matemáticas II · Probabilidad · Tema 07

Distribución normal

Aprende a trabajar con variables continuas y calcular probabilidades mediante tipificación y la tabla de la normal estándar.

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El modelo fundamental para variables continuas

La distribución normal describe fenómenos cuyos valores se concentran alrededor de una media y disminuyen progresivamente hacia los extremos. Su gráfica tiene forma de campana y su área representa probabilidad.

1Interpretar media y desviación típica
2Tipificar una variable
3Calcular áreas y percentiles
01
Definición

Variable normal

Una variable aleatoria continua \(X\) sigue una distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\) cuando:

\[ \boxed{X\sim N(\mu,\sigma)} \]

Media

\[ \mu \]

Determina el centro de la distribución.

Desviación típica

\[ \sigma \]

Mide la dispersión de los valores alrededor de la media.

i En estas páginas, el segundo parámetro de \(N(\mu,\sigma)\) es la desviación típica, no la varianza.
02
Características

Propiedades de la curva normal

Simetría

La curva es simétrica respecto de la media \(\mu\).

Máximo central

La mayor concentración de valores se encuentra alrededor de \(\mu\).

Área total

El área completa bajo la curva es igual a 1.

Extremos

Las colas se aproximan al eje horizontal sin llegar a cortarlo.

Curva de una distribución normal Campana normal simétrica con la media en el centro y marcas a una y dos desviaciones típicas. μ μ − σ μ + σ μ − 2σ μ + 2σ Área total = 1
Curva normal: la media fija el centro y la desviación típica controla la dispersión.
03
Variable continua

Probabilidad de un punto y de un intervalo

En una distribución continua, la probabilidad de obtener exactamente un valor es cero:

\[ \boxed{P(X=a)=0} \]

Por ello, incluir o no los extremos de un intervalo no cambia el resultado:

\[ \boxed{ P(X\lt a)=P(X\leq a)} \]
\[ P(a\lt X\lt b) = P(a\leq X\leq b) \]
04
Normal estándar

Tipificación

Para utilizar una única tabla, transformamos cualquier normal \(N(\mu,\sigma)\) en la normal estándar.

\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma}} \]
\[ \boxed{Z\sim N(0,1)} \]
i El valor de \(Z\) indica cuántas desviaciones típicas se encuentra un dato por encima o por debajo de la media.
05
Probabilidad acumulada

Cómo leer la tabla de la normal

La mayoría de las tablas proporcionan el área acumulada a la izquierda:

\[ \boxed{P(Z\leq z)} \]

Fila

Se busca la parte entera y la primera cifra decimal de \(z\).

Columna

Se busca la segunda cifra decimal de \(z\).

Intersección

La celda proporciona la probabilidad acumulada \(P(Z\leq z)\).

Ejemplo de lectura de la tabla
\[ Z=1,23 \]
Dato Valor que se busca
Fila \(1,2\)
Columna \(0,03\)
Resultado \(P(Z\leq1,23)\)
06
Valores negativos

Simetría de la normal estándar

Cuando aparece un valor negativo, la simetría permite transformarlo en una consulta positiva de la tabla:

\[ \boxed{ P(Z\leq -a) = 1-P(Z\leq a)} \]
Área acumulada a la izquierda de un valor negativo Curva normal estándar con el área a la izquierda de menos a sombreada. −a 0 P(Z ≤ −a)
La simetría transforma probabilidades asociadas a valores negativos en consultas equivalentes con valores positivos.
07
Ejemplo resuelto 1

Probabilidad de medir menos de 180 cm

La altura de una población sigue una distribución normal de media \(170\) cm y desviación típica \(10\) cm:

\[ X\sim N(170,10) \]

1. Tipificamos.

\[ Z= \frac{180-170}{10} = 1 \]

2. Consultamos la tabla.

\[ \boxed{ P(X\lt180) = P(Z\lt1) = 0,8413} \]
08
Ejemplo resuelto 2

Probabilidad de medir entre 160 y 180 cm

1. Tipificamos los dos extremos.

\[ z_1= \frac{160-170}{10} = -1 \]
\[ z_2= \frac{180-170}{10} = 1 \]

2. Calculamos el área comprendida entre ambos valores.

\[ P(160\lt X\lt180) = P(-1\lt Z\lt1) \]
\[ P(-1\lt Z\lt1) = 0,8413-0,1587 \]
\[ \boxed{ P(160\lt X\lt180) = 0,6826} \]
Área central entre menos una y una desviación típica Curva normal con el área central entre menos uno y uno sombreada. −1 0 1 0,6826
Área central comprendida entre una desviación típica por debajo y por encima de la media.
09
Ejemplo tipo PAU

Calcular un valor a partir de una probabilidad

La altura de una población sigue una distribución normal de media \(170\) cm y desviación típica \(10\) cm. Calcula \(a\) sabiendo que:

\[ P(X\leq a)=0,9 \]

1. Interpretación.

Buscamos el valor que deja al \(90\%\) de la población por debajo.

2. Tipificación.

\[ P\left( Z\leq \frac{a-170}{10} \right) = 0,9 \]

3. Buscamos el valor de \(z\) en la tabla.

\[ P(Z\leq z)=0,9 \Longrightarrow z\approx1,28 \]

4. Despejamos \(a\).

\[ \frac{a-170}{10}=1,28 \]
\[ a-170=12,8 \]
\[ \boxed{a=182,8\text{ cm}} \]
10
Guion de resolución

Cómo abordar un ejercicio de distribución normal

Paso 1Modelo

Identifica \(\mu\) y \(\sigma\)

Escribe la distribución \(X\sim N(\mu,\sigma)\).

Paso 2Tipificación

Transforma los valores

Utiliza \(Z=(X-\mu)/\sigma\) con todos los extremos necesarios.

Paso 3Área

Interpreta la tabla

Decide si necesitas área izquierda, derecha o entre dos valores.

11
Biblioteca PAU

Practica distribución normal

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de tipificación, áreas, intervalos, percentiles y valores desconocidos en distribuciones normales.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →
Qué debes recordar

La tabla proporciona áreas acumuladas de la normal estándar

Primero tipificamos y después interpretamos el área solicitada. En una variable continua, los valores aislados tienen probabilidad cero.

Modelo\(X\sim N(\mu,\sigma)\).
Tipificación\(Z=(X-\mu)/\sigma\).
TablaProporciona \(P(Z\leq z)\).
Continua\(P(X=a)=0\).

Errores frecuentes

Tipificar sin restar la mediaLa transformación correcta es \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
Olvidar el signo de \(Z\)Los valores inferiores a la media producen puntuaciones negativas.
Interpretar la tabla como probabilidad puntualLa tabla da un área acumulada, no \(P(Z=z)\).

Resumen del tema

La distribución normal modeliza variables continuas mediante una curva simétrica determinada por su media y desviación típica. Para calcular probabilidades se tipifica la variable y se utiliza la tabla de \(N(0,1)\).

Debes saber

  • Interpretar \(\mu\) y \(\sigma\).
  • Tipificar valores.
  • Leer la tabla normal.
  • Calcular áreas entre valores.
  • Obtener percentiles.
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