Matemáticas II · Probabilidad · Tema 02

Probabilidad condicionada

Aprende a recalcular probabilidades cuando ya conocemos que ha ocurrido un suceso previo.

La información previa cambia el universo de referencia

La probabilidad condicionada mide la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que ya ha ocurrido \(B\). Al condicionar, el espacio muestral se restringe al suceso \(B\).

1Identificar el condicionante

2Calcular intersecciones

3Distinguir independencia e incompatibilidad

Definición

Probabilidad de \(A\) sabiendo que ha ocurrido \(B\)

\[ \boxed{ P(A\mid B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}} \]

La fórmula se utiliza siempre que:

\[ \boxed{P(B)>0} \]

i El suceso condicionante es el que aparece después de la barra: en \(P(A\mid B)\), sabemos que ha ocurrido \(B\).

Cambio de universo

Cómo interpretar la fórmula

Universo reducido

Solo consideramos los resultados que pertenecen a \(B\).

\[ \Omega\longrightarrow B \]

Casos favorables

Dentro de \(B\), deben ocurrir también los resultados de \(A\).

\[ A\cap B \]

Cociente

Comparamos la parte común con el nuevo universo.

\[ \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Regla del producto

Probabilidad de una intersección

Despejando en la definición:

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)} \]

También puede escribirse en el orden contrario:

\[ P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A) \]

Mejora autorizada

Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes cuando que ocurra uno no modifica la probabilidad del otro.

\[ \boxed{P(A\cap B)=P(A)\,P(B)} \]

Si \(P(B)>0\), esta condición equivale a:

\[ \boxed{P(A\mid B)=P(A)} \]

No son lo mismo

Independencia e incompatibilidad

Sucesos incompatibles

No pueden ocurrir simultáneamente.

\[ \boxed{A\cap B=\varnothing} \]

Sucesos independientes

Que ocurra uno no modifica la probabilidad del otro.

\[ \boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)} \]

! Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva no son independientes: si ocurre uno, sabemos que el otro no puede ocurrir.

Ejemplo resuelto 1

Número par sabiendo que es mayor que 3

Se lanza un dado equilibrado.

\[ B=\{4,5,6\}, \qquad A=\{2,4,6\} \]

\[ A\cap B=\{4,6\} \]

Dentro del nuevo universo \(B\) hay tres resultados posibles y dos favorables:

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac23} \]

Ejemplo resuelto 2

As sabiendo que la carta es una copa

Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que sea un as sabiendo que es una copa.

El nuevo universo son las 10 cartas del palo de copas y solo una de ellas es un as:

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac1{10}} \]

Ejemplo resuelto 3

Dos caras sabiendo que ha salido al menos una

Se lanzan dos monedas equilibradas.

\[ \Omega=\{CC,CX,XC,XX\} \]

\[ B=\{CC,CX,XC\} \]

\[ A=\{CC\} \]

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac13} \]

Biblioteca PAU

Practica condicionamiento e independencia

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de probabilidad condicionada, tablas de contingencia, independencia y sucesos compuestos.

Abrir la biblioteca PAU de Probabilidad →

Qué debes recordar

El condicionante cambia el universo

En \(P(A\mid B)\), el nuevo universo es \(B\). La intersección \(A\cap B\) reúne los casos favorables dentro de ese universo reducido.

Condicionada\(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\).

Producto\(P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)\).

IndependenciaEl condicionamiento no cambia la probabilidad.

IncompatibilidadNo pueden ocurrir a la vez.

Errores frecuentes

Intercambiar \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\)Representan preguntas diferentes.

Usar el espacio muestral originalAl condicionar, el universo pasa a ser \(B\).

Confundir incompatibilidad e independenciaSon conceptos distintos y deben justificarse con criterios diferentes.

Resumen del tema

La probabilidad condicionada incorpora información previa y reduce el espacio muestral. La independencia aparece cuando esa información no modifica la probabilidad inicial.

Debes saber

Identificar \(A\) y \(B\).
Calcular \(A\cap B\).
Aplicar la fórmula condicionada.
Usar la regla del producto.
Distinguir independencia e incompatibilidad.