Teorema de Bayes
Aprende a invertir probabilidades y responder preguntas del tipo “sabiendo que ha ocurrido algo, ¿de dónde viene?”.
Este teorema conecta directamente con la probabilidad total y permite analizar situaciones reales donde conocemos el resultado final pero queremos identificar su causa.
Idea básica
El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una causa sabiendo que ha ocurrido un resultado. Es decir, invierte la probabilidad condicionada.
Qué problema resuelve
En muchos problemas conocemos algo como:
\[
P(\text{resultado}|\text{causa})
\]
Pero nos preguntan:
\[
P(\text{causa}|\text{resultado})
\]
Ahí es donde aparece Bayes.
Fórmula del teorema de Bayes
\[
P(A_i|B)=\frac{P(A_i)\cdot P(B|A_i)}{P(B)}
\]
donde \(P(B)\) se calcula usando la probabilidad total.
Cómo se aplica paso a paso
- Definir los sucesos correctamente.
- Identificar probabilidades directas del enunciado.
- Calcular la probabilidad total.
- Aplicar Bayes sustituyendo valores.
Espacio reservado para anuncio
Qué debes recordar
Permite pasar de efecto → causa.
Siempre aparece en el denominador.
Primero plantear, después sustituir.
Ejemplo resuelto
Una fábrica tiene dos máquinas:
- A produce el 70% de las piezas y tiene un 2% de defectuosas.
- B produce el 30% y tiene un 5% de defectuosas.
Se elige una pieza defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina A?
1. Definimos sucesos
\[
A: \text{pieza de la máquina A}, \quad B: \text{pieza de la máquina B}
\]
\[
D: \text{pieza defectuosa}
\]
2. Datos
\[
P(A)=0.7,\quad P(B)=0.3
\]
\[
P(D|A)=0.02,\quad P(D|B)=0.05
\]
3. Probabilidad total
\[
P(D)=0.7\cdot0.02+0.3\cdot0.05=0.014+0.015=0.029
\]
4. Aplicamos Bayes
\[
P(A|D)=\frac{0.7\cdot0.02}{0.029}
\]
\[
P(A|D)=\frac{0.014}{0.029}\approx0.483
\]
Resultado: la probabilidad de que la pieza provenga de la máquina A es de 0,483.
Errores habituales
- Confundir \(P(A|B)\) con \(P(B|A)\).
- No calcular antes la probabilidad total.
- Ir directo a números sin plantear.
Espacio reservado para anuncio
Cómo estudiar este tema
Trabaja primero probabilidad total hasta dominarla. Después entrena Bayes entendiendo que siempre responde a la pregunta “dado el resultado, ¿de dónde viene?”.
Resumen final
- Bayes invierte probabilidades condicionadas.
- Siempre necesita la probabilidad total.
- Es clave para interpretar resultados.