Matemáticas II · Análisis · Tema 07

Problemas de optimización

Aprende a traducir una situación real a una función, localizar sus máximos o mínimos y justificar que la solución tiene sentido dentro del contexto.

Comenzar el tema Volver al bloque

Modelizar antes de derivar

La dificultad principal de una optimización no suele estar en calcular la derivada, sino en elegir variables, interpretar las restricciones y construir una función objetivo de una sola variable. La respuesta final debe expresarse siempre con unidades y dentro del contexto.

1Construir la función objetivo
2Determinar el dominio real del problema
3Justificar e interpretar el extremo
01
Procedimiento completo

Metodología para optimizar

Paso 1Variables

Define las magnitudes

Indica claramente qué representa cada variable y sus unidades.

Paso 2Restricción

Relaciona las variables

Usa perímetros, áreas, costes, volúmenes u otras condiciones del enunciado.

Paso 3Objetivo

Construye una función

Expresa la magnitud que debe maximizarse o minimizarse en una sola variable.

Paso 4Dominio

Determina los valores posibles

Descarta longitudes negativas, denominadores nulos y soluciones sin sentido físico.

Paso 5Derivada

Calcula los puntos críticos

Resuelve \(f'(x)=0\) y considera también los puntos donde la derivada no exista.

Paso 6Verificación

Justifica el máximo o mínimo

Usa el cambio de signo, la segunda derivada o la comparación de valores.

i En un intervalo cerrado \([a,b]\), un extremo absoluto puede encontrarse en un punto crítico o en uno de los extremos. Deben compararse \(f(a)\), \(f(b)\) y los valores de los puntos críticos interiores.
02
Situaciones habituales

Qué puede optimizarse

Geometría

Áreas, perímetros, volúmenes, distancias y dimensiones.

Economía y producción

Costes, ingresos, beneficios, tiempos y recursos.

Modelos contextualizados

Diseño, transporte, almacenamiento, energía o rendimiento.

03
Ejemplo clásico conservado

Caja de volumen máximo

Enunciado

De una lámina cuadrada de \(4\times4\) dm se recortan cuadrados de lado \(x\) en las esquinas y se pliegan los bordes. Determina \(x\) para que el volumen de la caja sea máximo.

1. Variable, función objetivo y dominio.

La altura es \(x\) y los lados de la base miden \(4-2x\). Por tanto:

\[ V(x)=x(4-2x)^2 \]
\[ 0

Para comparar también los casos límite podemos extender el modelo de forma continua a \([0,2]\), donde \(V(0)=V(2)=0\).

2. Derivada y puntos críticos.

\[ \begin{aligned} V'(x) &=(4-2x)^2-4x(4-2x)\\ &=(4-2x)(4-6x) \end{aligned} \]
\[ V'(x)=0 \Longrightarrow x=2 \quad\text{o}\quad x=\frac23 \]

El valor \(x=2\) es un extremo del intervalo y produce una caja plana. El único punto crítico interior es \(x=\frac23\).

3. Verificación del máximo.

\[ V''(x)=24x-32 \]
\[ V''\left(\frac23\right)=-16<0 \]

Por tanto, el punto crítico corresponde a un máximo.

4. Volumen máximo.

\[ V\left(\frac23\right) = \frac23\left(\frac83\right)^2 = \boxed{\frac{128}{27}\ \mathrm{dm}^3} \approx4{,}74\ \mathrm{dm}^3 \]

Conclusión: deben recortarse cuadrados de lado \(\boxed{\frac23\ \mathrm{dm}}\).

04
Ejemplo de la biblioteca PAU

Ventana rectangular coronada por un semicírculo

Problema publicado en la biblioteca a partir de la PAU de Andalucía 2026. La ventana tiene perímetro exterior de \(8\) m y se desea maximizar la superficie por la que entra la luz.

1. Variables y restricción

Sea \(x\) la anchura de la ventana, \(y\) la altura del rectángulo y \(r=x/2\) el radio del semicírculo.

\[ x+2y+\frac{\pi x}{2}=8 \]
\[ y=4-\frac{(2+\pi)x}{4} \]
2. Función objetivo
\[ A=xy+\frac12\pi\left(\frac x2\right)^2 \]
\[ A(x)= 4x-\frac{4+\pi}{8}x^2 \]

El dominio físico exige \(x>0\) y \(y>0\), por lo que \(0

3. Maximización
\[ A'(x)=4-\frac{4+\pi}{4}x \]
\[ A'(x)=0 \Longrightarrow \boxed{x=\frac{16}{4+\pi}} \]
\[ A''(x)=-\frac{4+\pi}{4}<0 \]

El punto crítico proporciona el área máxima.

4. Dimensiones óptimas
\[ \boxed{x=\frac{16}{4+\pi}\ \mathrm{m}}, \qquad \boxed{y=\frac8{4+\pi}\ \mathrm{m}}, \qquad \boxed{r=\frac8{4+\pi}\ \mathrm{m}} \]
i En el perímetro exterior se incluye el arco del semicírculo, pero no su diámetro, porque ese segmento queda en el interior de la ventana.
05
Comprobación final

Extremos relativos y absolutos

Intervalo abierto

Hay que justificar el comportamiento de la función en el punto crítico y comprobar que la solución pertenece al dominio real del problema.

Intervalo cerrado

Se comparan los valores en los puntos críticos interiores y en los extremos del intervalo.

\[ f(a),\quad f(b),\quad f(c_1),\ldots,f(c_n) \]
06
Biblioteca publicada

Problemas para seguir practicando

Navarra · 2025 Coste mínimo con máquinas Optimización de una función racional con una variable discreta contextualizada. Resolver problema → Andalucía · 2026 Ventana con semicírculo Maximización de un área sometida a una restricción de perímetro. Resolver problema → Madrid · 2026 Jardín triangular con forma techada Minimización de costes mediante la maximización del área cubierta. Resolver problema →
DavidSO Math Engine Abrir la biblioteca completa de Matemáticas II Filtra por bloque Análisis y tema Optimización para localizar más problemas.
Qué debes recordar

La derivada resuelve el modelo, pero el planteamiento construye el problema

Una solución matemática solo es válida si pertenece al dominio, respeta las restricciones y responde con claridad a la pregunta del enunciado.

VariableDefine qué representa y sus unidades.
RestricciónRelaciona las magnitudes del contexto.
ObjetivoExpresa una sola función.
ConclusiónInterpreta y comprueba la respuesta.

Errores frecuentes

Derivar antes de construir la funciónPrimero hay que eliminar variables mediante la restricción.
Olvidar el dominio físicoUna solución algebraica puede representar una longitud negativa o una figura degenerada.
No comprobar los extremos del intervaloUn máximo o mínimo absoluto puede encontrarse en la frontera.

Resumen del tema

Para optimizar se definen variables, se utiliza una restricción, se construye una función objetivo, se determina el dominio y se estudian los puntos críticos. La respuesta debe justificarse e interpretarse.

Debes saber

  • Definir variables y unidades.
  • Construir una función de una variable.
  • Determinar el dominio real.
  • Comprobar el tipo de extremo.
  • Comparar fronteras e interpretar.
Scroll al inicio