Derivabilidad y teoremas
Estudia cuándo una función es derivable, reconoce los puntos no derivables y aplica los teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange.
Comprobar si una función tiene una pendiente bien definida
Una función es derivable cuando existe una única pendiente de tangente. Las derivadas laterales permiten analizar puntos conflictivos y los teoremas de Rolle y Lagrange relacionan el comportamiento global de una función con el valor de su derivada en algún punto intermedio.
Derivabilidad en un punto
Una función \(f\) es derivable en \(x=a\) si existe y es finito el límite que define la derivada.
Derivadas laterales
Una función es derivable en un punto si existen las derivadas por la izquierda y por la derecha, son finitas y coinciden.
Derivada por la izquierda
Derivada por la derecha
Continuidad y derivabilidad
Derivable implica continua
La continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad.
La recíproca es falsa
Una función continua puede presentar una esquina, una cúspide o una tangente vertical.
Puntos no derivables
Las funciones continuas pueden dejar de ser derivables por distintos motivos. Es importante distinguir un punto anguloso de una cúspide.
Las derivadas laterales son finitas pero diferentes. Ejemplo: \(f(x)=|x|\) en \(x=0\), donde \(f'_-(0)=-1\) y \(f'_+(0)=1\).
Las pendientes laterales son infinitas y de signo contrario. Ejemplo: \(f(x)=x^{2/3}\) en \(x=0\).
Las pendientes laterales tienden al mismo infinito. Ejemplo: \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) en \(x=0\).
Método para estudiar derivabilidad
Comprueba primero la continuidad
Si no es continua, tampoco puede ser derivable.
Calcula \(f'_-(a)\) y \(f'_+(a)\)
Deriva cada expresión en el lado correspondiente.
Compara los resultados
Debe obtenerse el mismo valor real finito en ambos lados.
Determina \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\)
1. Continuidad en \(x=1\).
2. Igualdad de derivadas laterales.
Sustituimos en la condición de continuidad:
Teorema de Rolle
Si una función comienza y termina a la misma altura y cumple las condiciones de regularidad adecuadas, existe al menos un punto interior con tangente horizontal.
Continuidad
Derivabilidad
Extremos iguales
Aplica Rolle a \(f(x)=x^2-4x+3\) en \([1,3]\)
Es un polinomio, por lo que es continua en \([1,3]\) y derivable en \((1,3)\).
Se cumplen las tres hipótesis. Calculamos:
Demostración de unicidad de una raíz
Demuestra que \(f(x)=2x-\sin x\) solo se anula en \(x=0\)
Primero comprobamos que:
Supongamos que existieran dos raíces distintas \(x_1 < x_2\). La función es continua en \([x_1,x_2]\), derivable \((x_1,x_2)\) y \(f(x_1)=f(x_2)=0\). Por Rolle existiría un \(c\in(x_1,x_2)\) con \(f'(c)=0\).
La derivada nunca se anula, lo que contradice la conclusión de Rolle. Por tanto, \(\boxed{x=0}\) es la única raíz.
Teorema de Lagrange
Si una función es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), existe al menos un punto interior en el que la pendiente de la tangente coincide con la pendiente de la secante que une los extremos.
Aplica el teorema a \(f(x)=x^2\) en \([1,3]\)
La función es continua y derivable por ser polinómica.
Como \(f'(x)=2x\), buscamos \(c\in(1,3)\) tal que:
Rolle y Lagrange: semejanzas y diferencias
| Aspecto | Rolle | Lagrange |
|---|---|---|
| Continuidad | En \([a,b]\) | En \([a,b]\) |
| Derivabilidad | En \((a,b)\) | En \((a,b)\) |
| Condición adicional | \(f(a)=f(b)\) | No se exige igualdad en los extremos |
| Conclusión | \(f'(c)=0\) | \(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) |
| Interpretación | Tangente horizontal | Tangente paralela a la secante |
Primero comprueba hipótesis; después aplica el teorema
La continuidad, la derivabilidad y las condiciones sobre los extremos no pueden darse por supuestas. Deben justificarse antes de escribir la conclusión.
Errores frecuentes
Ejercicios propuestos
Derivabilidad lateral
Estudia la derivabilidad de \(f(x)=|x-2|\) en \(x=2\).
Función a trozos
Determina parámetros para que una función definida a trozos sea derivable.
Teorema de Rolle
Aplica Rolle a \(f(x)=x^2-6x+8\) en \([2,4]\).
Teorema de Lagrange
Aplica Lagrange a \(f(x)=x^3\) en \([0,2]\).
Resumen del tema
Una función es derivable cuando sus derivadas laterales existen, son finitas y coinciden. La derivabilidad implica continuidad. Rolle garantiza una tangente horizontal y Lagrange una tangente paralela a la secante.
Debes saber
- Calcular derivadas laterales.
- Distinguir los puntos no derivables.
- Estudiar funciones a trozos.
- Comprobar las hipótesis de Rolle.
- Aplicar el teorema de Lagrange.