Matemáticas II · Análisis · Tema 09

Integral definida y cálculo de áreas

Interpreta la integral como acumulación con signo, aplica la regla de Barrow y calcula áreas limitadas por el eje \(OX\) o por varias curvas.

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La integral definida mide acumulación; el área exige estudiar el signo

La integral definida puede ser positiva, negativa o nula. Para calcular un área geométrica deben localizarse los puntos de corte y dividir el intervalo cuando la función o la diferencia entre dos curvas cambia de signo.

1Aplicar la regla de Barrow

2Distinguir integral y área

3Calcular recintos entre curvas

Concepto fundamental

La integral definida

Si \(f\) es continua en \([a,b]\), la integral definida representa una acumulación neta: las regiones situadas sobre el eje \(OX\) aportan signo positivo y las situadas debajo aportan signo negativo.

\[ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx} \]

Función positiva

Si \(f(x)\ge0\), la integral coincide con el área geométrica.

Función negativa

Si \(f(x)\le0\), la integral es el opuesto del área geométrica.

Cambio de signo

Hay que dividir el intervalo en los ceros de la función.

! En general, \(\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\) no coincide con el área total cuando la función cambia de signo, porque las regiones positivas y negativas se compensan.

Herramientas de cálculo

Propiedades básicas

Propiedad	Expresión
Intervalo nulo	\(\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0\)
Cambio de orientación	\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)
Aditividad	\(\displaystyle\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\)
Linealidad	\(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\)
Positividad	Si \(f\ge0\), entonces \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\ge0\)
Comparación	Si \(f\le g\), entonces \(\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g\)

Teorema fundamental

Regla de Barrow

Si \(F\) es una primitiva de una función continua \(f\) en \([a,b]\), la integral definida se calcula evaluando la primitiva en los extremos.

\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)} \]

Paso 1Primitiva

Calcula primero la indefinida

Desarrolla el método necesario antes de aplicar los extremos.

Paso 2Barrow

Escribe \([F(x)]_a^b\)

Sustituye primero \(b\) y después resta el valor en \(a\).

Paso 3Interpreta

Decide si es integral o área

Comprueba el signo de la función o la posición relativa de las curvas.

Ejemplo 1 · Integral inmediata

Calcula \(\displaystyle\int_1^2(x^2+1)\,dx\)

1. Calculamos una primitiva.

\[ \int(x^2+1)\,dx = \frac{x^3}{3}+x+C \]

2. Aplicamos Barrow.

\[ \begin{aligned} \int_1^2(x^2+1)\,dx &= \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_1^2\\ &= \left(\frac83+2\right) - \left(\frac13+1\right)\\ &= \boxed{\frac{10}{3}} \end{aligned} \]

Ejemplo 2 · Forma logarítmica

Calcula \(\displaystyle\int_0^2\frac3{x+2}\,dx\)

1. Calculamos una primitiva.

\[ \int\frac3{x+2}\,dx = 3\ln|x+2|+C \]

2. Aplicamos Barrow.

\[ \begin{aligned} \int_0^2\frac3{x+2}\,dx &= 3\left[\ln|x+2|\right]_0^2\\ &= 3(\ln4-\ln2)\\ &= \boxed{3\ln2} \end{aligned} \]

Área con el eje \(OX\)

Funciones que no cambian de signo

Por encima del eje

\[ f(x)\ge0 \Longrightarrow A=\int_a^b f(x)\,dx \]

Por debajo del eje

\[ f(x)\le0 \Longrightarrow A=-\int_a^b f(x)\,dx \]

Área geométrica total

Funciones que cambian de signo

Primero se calculan los ceros de la función dentro del intervalo. Después se divide la integral y se hace positiva la contribución de cada recinto.

\[ \boxed{A=\int_a^b|f(x)|\,dx} \]

Ejemplo 3 · Por qué no basta un valor absoluto final

Calcula el área entre \(f(x)=x\), el eje \(OX\), \(x=-1\) y \(x=2\)

La función cambia de signo en \(x=0\), por lo que dividimos:

\[ A= -\int_{-1}^{0}x\,dx + \int_0^2x\,dx \]

\[ \begin{aligned} A &= -\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2\\ &= \frac12+2\\ &= \boxed{\frac52} \end{aligned} \]

En cambio:

\[ \left| \int_{-1}^{2}x\,dx \right| = \left|\frac32\right| = \frac32 \neq \frac52 \]

Recinto entre gráficas

Área entre dos funciones

Primero se resuelve \(f(x)=g(x)\) para localizar los puntos de corte. En cada subintervalo se determina qué función queda por encima.

\[ \boxed{ A= \int_a^b \bigl(\text{función superior}-\text{función inferior}\bigr)\,dx} \]

Ejemplo PAU · Castilla y León 2019

Calcula el área comprendida entre \(y=4x\) y \(y=x^3\) en \([0,2]\)

1. Calculamos los puntos de corte.

\[ 4x=x^3 \Longrightarrow x(x^2-4)=0 \Longrightarrow x=0,\ \pm2 \]

En \([0,2]\), por ejemplo en \(x=1\), se cumple \(4x>x^3\).

2. Calculamos una primitiva de la diferencia.

\[ \int(4x-x^3)\,dx = 2x^2-\frac{x^4}{4}+C \]

3. Aplicamos Barrow.

\[ \begin{aligned} A &= \int_0^2(4x-x^3)\,dx\\ &= \left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2\\ &= 8-4\\ &= \boxed4 \end{aligned} \]

Ejemplo PAU · Cantabria 2024

Área limitada por \(x\ln x\)

Enunciado

Calcula el área limitada por \(f(x)=x\ln x\), el eje \(OX\) y las rectas \(x=1\) y \(x=2\).

1. Estudiamos el signo.

En \([1,2]\), \(x>0\) y \(\ln x\ge0\), por lo que \(f(x)\ge0\). La integral coincide con el área.

2. Calculamos la primitiva por partes.

\[ u=\ln x, \qquad dv=x\,dx, \qquad du=\frac1x\,dx, \qquad v=\frac{x^2}{2} \]

\[ \begin{aligned} \int x\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x}{2}\,dx\\ &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} +C \end{aligned} \]

3. Aplicamos Barrow.

\[ \begin{aligned} A &= \left[ \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4} \right]_1^2\\ &= (2\ln2-1)-\left(-\frac14\right)\\ &= \boxed{2\ln2-\frac34} \end{aligned} \]

Procedimiento general

Método para calcular un área

Paso 1Cortes

Determina el recinto

Calcula ceros e intersecciones y ordénalos en el eje \(X\).

Paso 2Posición

Estudia el signo

Decide qué función queda por encima en cada subintervalo.

Paso 3Integral

Calcula y suma áreas positivas

Obtén primero la primitiva y aplica después la regla de Barrow.

Biblioteca PAU

Problemas para seguir practicando

Castilla y León · 2019 Límite trigonométrico y área entre curvas Área entre las funciones \(4x\) y \(x^3\) en un intervalo cerrado. Resolver problema → Cantabria · 2024 Función \(x\ln x\) Integra por partes y calcula el área limitada por el eje \(OX\). Resolver problema → Castilla y León · 2025 Exponencial con máximo y área Estudio de una función exponencial y cálculo de un recinto asociado. Resolver problema →

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Qué debes recordar

Una integral puede tener signo; un área geométrica siempre es positiva

Antes de integrar debes conocer el recinto, los puntos de corte y la posición relativa de las funciones. El cálculo viene después de la interpretación.

BarrowCalcula primero una primitiva completa.

SignoDivide el intervalo en los ceros.

Dos curvasSuperior menos inferior.

ÁreaSuma contribuciones geométricas positivas.

Errores frecuentes

Aplicar valor absoluto solo al resultado totalNo funciona cuando hay regiones positivas y negativas que se compensan.

Integrar antes de hallar los puntos de corteLos límites de integración forman parte del problema y deben justificarse.

Olvidar qué curva está arribaUna diferencia con el orden incorrecto produce una integral negativa.

Resumen del tema

La regla de Barrow transforma una integral definida en una diferencia de valores de una primitiva. Para obtener áreas hay que estudiar signos, puntos de corte y posición relativa, dividiendo el recinto cuando sea necesario.

Debes saber

Aplicar las propiedades básicas.
Calcular primero la primitiva.
Distinguir integral y área.
Dividir por cambios de signo.
Calcular áreas entre curvas.