La integral definida. Cálculo de áreas | Matemáticas 2

La integral definida

Si \( f \) es una función continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \),
el área del recinto limitado por el eje X, la gráfica de \( f \), y las rectas verticales \( x = a \) y \( x = b \), se expresa mediante:

\[
\left| \int_a^b f(x)\,dx \right|
\]

Expresamos el valor absoluto ya que, si la curva se encuentra por debajo del eje X,
el valor de la integral sería negativo y, en el contexto de cálculo de áreas, esto no tendría sentido físico.

Regla de Barrow

Si \( f(x) \) es una función continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \),
y \( G(x) \) es una primitiva de \( f(x) \), entonces:

\[
\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)
\]

Habitualmente, esta diferencia se expresa mediante notación con corchetes:
\[
\int_a^b f(x)\,dx = \left[ G(x) \right]_a^b
\]

Ejemplo 1

\[
\int_1^2 (x^2 + 1)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_1^2 =
\left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) =
\frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}
\]

Ejemplo 2

\[
\int_0^2 \frac{3}{x + 2}\,dx =
3 \int_0^2 \frac{1}{x + 2}\,dx =
3 \left[ \ln|x + 2| \right]_0^2 =
3 \left( \ln 4 - \ln 2 \right) =
3 \ln \left( \frac{4}{2} \right) = 3 \ln 2
\]