Matemáticas II · Análisis · Tema 03

Continuidad de funciones y teoremas

Aprende a estudiar la continuidad, clasificar correctamente las discontinuidades y aplicar los teoremas de Bolzano, valores intermedios y Weierstrass.

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Estudiar si una función puede recorrerse sin interrupciones

La continuidad relaciona el valor de una función con su comportamiento próximo. Además, permite garantizar la existencia de raíces, valores intermedios y extremos absolutos mediante teoremas fundamentales.

1Comprobar continuidad en un punto

2Clasificar discontinuidades

3Aplicar teoremas de continuidad

Definición

Continuidad en un punto

Una función \(f\) es continua en \(x_0\) cuando está definida en ese punto, existe un límite real finito y ambos valores coinciden.

1. Existe la imagen

\[f(x_0)\ \text{existe}\]

2. Existe el límite

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\]

3. Coinciden

\[f(x_0)=L\]

\[ \boxed{ f\ \text{continua en}\ x_0 \iff \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) } \]

i Para que exista el límite bilateral deben coincidir los límites laterales: \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\).

Clasificación

Tipos de discontinuidad

Si falla alguna de las condiciones de continuidad, debemos analizar los límites laterales y el valor de la función para clasificar la discontinuidad.

Tipo 1Evitable

Discontinuidad evitable

El límite existe y es finito, pero la función no está definida en el punto o su valor no coincide con el límite.

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \qquad f(x_0)\neq L \ \text{o no existe} \]

Tipo 2Salto

Discontinuidad de salto

Los dos límites laterales existen y son finitos, pero son diferentes.

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]

Tipo 3Infinita

Discontinuidad infinita

Al menos uno de los límites laterales es \(+\infty\) o \(-\infty\). Suele estar asociada a una asíntota vertical.

\[ \lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty \]

Tipo 4Esencial

Discontinuidad esencial u oscilatoria

Al menos uno de los límites laterales no existe ni como número real ni como infinito por falta de tendencia, como ocurre en una oscilación.

\[ f(x)=\sin\left(\frac1x\right) \quad\text{en}\quad x=0 \]

! Un límite que tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\) no existe como límite real finito, aunque sí describe una tendencia infinita. Tampoco debe clasificarse como discontinuidad esencial un extremo del dominio: allí se estudia la continuidad lateral correspondiente.

Reconocimiento

Ejemplos de discontinuidades

Evitable

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\quad x\neq1 \]

El límite en \(1\) es \(2\), pero la función no está definida allí.

De salto

\[ f(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 1,&x\ge0. \end{cases} \]

Los límites laterales en \(0\) son \(0\) y \(1\).

Infinita

\[ f(x)=\frac1{x-2} \]

La función presenta una asíntota vertical en \(x=2\).

Esencial u oscilatoria

\[ f(x)=\sin\left(\frac1x\right) \]

Cuando \(x\to0\), la función oscila sin aproximarse a un valor o a un infinito.

Dominio e intervalos

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo abierto si lo es en todos sus puntos. En un intervalo cerrado \([a,b]\), además se exige continuidad lateral en los extremos.

Extremo izquierdo

\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) \]

Extremo derecho

\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) \]

Ejemplo 1 · Función a trozos con parámetro

Determina \(a\) para que la función sea continua en \(x=1\)

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1,&x<1,\\ ax+1,&x\ge1. \end{cases} \]

Calculamos los dos valores que deben coincidir:

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=a+1 \]

\[ a+1=2 \Longrightarrow \boxed{a=1} \]

Teorema de continuidad

Conservación del signo

Si una función es continua en un intervalo y no se anula en él, mantiene el mismo signo en todo el intervalo.

\[ f\ \text{continua en}\ I \quad\text{y}\quad f(x)\neq0\ \forall x\in I \Longrightarrow f(x)>0\ \forall x\in I \ \text{o}\ f(x)<0\ \forall x\in I \]

Si cambiara de signo, por el teorema de Bolzano tendría que anularse en algún punto intermedio, contradiciendo la hipótesis.

Existencia de raíces

Teorema de Bolzano

Si una función es continua en \([a,b]\) y toma valores de distinto signo en los extremos, entonces se anula al menos una vez en el intervalo abierto.

\[ \boxed{ f\ \text{continua en}\ [a,b], \qquad f(a)f(b)<0 \Longrightarrow \exists c\in(a,b):f(c)=0 } \]

Representación gráfica del teorema de Bolzano — La continuidad y el cambio de signo garantizan al menos un corte con el eje \(X\).

Ejemplo 2 · Aplicación de Bolzano

Demuestra que \(f(x)=x^3+x-1\) tiene al menos una raíz en \((0,1)\)

La función es polinómica, por lo que es continua en \([0,1]\).

\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1 \]

\[ f(0)f(1)=-1<0 \]

Por el teorema de Bolzano, existe al menos un \(c\in(0,1)\) tal que \(f(c)=0\).

i Bolzano garantiza la existencia de una raíz, pero no proporciona su valor exacto. Esta idea sirve de base al método de bisección.

Ausencia de saltos

Teorema de los valores intermedios

Una función continua en \([a,b]\) toma todos los valores comprendidos entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

\[ y_0\ \text{entre}\ f(a)\ \text{y}\ f(b) \Longrightarrow \exists c\in[a,b]\ \text{tal que}\ f(c)=y_0 \]

Ejemplo 3 · Valor intermedio

Una función continua cumple \(f(2)=3\) y \(f(5)=11\)

La función debe tomar todos los valores entre \(3\) y \(11\). En particular, existe al menos un \(c\in[2,5]\) tal que \(f(c)=7\).

Extremos absolutos

Teorema de Weierstrass

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto.

\[ \boxed{ f\ \text{continua en}\ [a,b] \Longrightarrow \exists x_{\min},x_{\max}\in[a,b] } \]

\[ f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max}) \qquad\forall x\in[a,b] \]

i El teorema garantiza que los extremos existen, pero no indica dónde están. Para localizarlos utilizaremos posteriormente las derivadas y compararemos también los extremos del intervalo.

Estrategia general

Cómo estudiar la continuidad y aplicar un teorema

Antes de invocar un teorema, comprueba expresamente todas sus hipótesis. Después escribe con precisión la conclusión que puedes garantizar.

1. DominioLocaliza los puntos en los que puede fallar la continuidad.

2. LateralesCalcula los límites a izquierda y derecha cuando sea necesario.

3. HipótesisComprueba continuidad, intervalo y signos o valores.

4. ConclusiónIndica exactamente qué existencia garantiza el teorema.

Errores frecuentes

Comprobar solo el valor de la funciónTambién deben existir el límite y la igualdad con \(f(x_0)\).

Decir que un límite infinito es finitoUna tendencia infinita no es un límite real y produce discontinuidad infinita.

Aplicar Bolzano sin continuidadEl cambio de signo no basta si no se garantiza continuidad en todo \([a,b]\).

Practica

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1

Clasifica la discontinuidad de \(\frac{x^2-4}{x-2}\) en \(x=2\).

Ejercicio 2

Estudia la continuidad de \(f(x)=\frac1{x+1}\) y clasifica la discontinuidad.

Ejercicio 3

Determina un parámetro para que una función a trozos sea continua.

Ejercicio 4

Aplica Bolzano para demostrar que \(x^3-2x-2=0\) tiene una raíz en \((1,2)\).

Resumen del tema

Una función es continua cuando su valor coincide con el límite. Si falla esta condición, los límites laterales permiten clasificar la discontinuidad. Los teoremas de continuidad garantizan raíces, valores intermedios y extremos.

Debes saber

Comprobar las tres condiciones.
Clasificar discontinuidades.
Estudiar continuidad lateral.
Aplicar Bolzano y valores intermedios.
Interpretar Weierstrass.