Cálculo de límites
Comprende el significado de límite y domina el cálculo de límites finitos, laterales e infinitos, las indeterminaciones habituales y la regla de L’Hôpital.
Describir qué ocurre cuando \(x\) se aproxima a un valor
Los límites permiten estudiar el comportamiento de una función cerca de un punto o cuando la variable crece sin límite. Son la base para analizar la continuidad, calcular asíntotas y comprender posteriormente la derivada.
Significado de límite
Para una función \(f(x)\), el límite cuando \(x\) tiende a un valor \(a\) representa el número al que se aproximan los valores de la función cuando \(x\) se acerca a \(a\).
Comportamiento cerca del punto
El límite estudia los valores de la función cuando \(x\) está tan cerca de \(a\) como queramos, sin exigir que \(x=a\).
Valor de la función y límite
\(f(a)\) puede existir, no existir o ser distinto de \(L\). El límite depende del comportamiento próximo y no únicamente del valor en el punto.
Operaciones con infinito
Antes de resolver límites conviene recordar algunas operaciones habituales con infinito. Son reglas informales útiles para interpretar tendencias, pero no permiten resolver por sí solas las indeterminaciones.
| Operación | Resultado orientativo |
|---|---|
| Suma con una constante | \(k+\infty=\infty\), \(k-\infty=-\infty\) |
| Suma de infinitos del mismo signo | \(\infty+\infty=\infty\) |
| Producto de infinitos | \((+\infty)(+\infty)=+\infty\), \((+\infty)(-\infty)=-\infty\) |
| Constante entre infinito | \(\dfrac{k}{\infty}=0\), si \(k\neq0\) |
Funciones logarítmicas y sus límites
Si en un límite aparece \(f(x)=\log_a x\), debemos recordar su dominio \(x>0\) y distinguir si la base es mayor o menor que uno.
Base \(a>1\)
Base \(0 < a < 1\)
Límite finito de una función en un punto
Si una función es continua en \(a\), para calcular el límite basta con sustituir el valor.
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2}(-2x^3+7x^2-x+2)\)
Al tratarse de un polinomio, la función es continua y sustituimos directamente:
Límites laterales
Cuando una función es a trozos o presenta un comportamiento diferente a izquierda y derecha, debemos estudiar los dos límites laterales.
Estudia el límite en \(x=2\)
Como los límites laterales no coinciden, \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\) no existe.
Límite infinito en un punto
Si al sustituir obtenemos una expresión del tipo \(\frac{n}{0}\), con \(n\neq0\), hay que estudiar el signo del denominador mediante límites laterales.
Laterales con el mismo signo
La función tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) por ambos lados.
Laterales con signos opuestos
El límite bilateral no existe, aunque cada límite lateral sea infinito.
Estudia \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+5}{x+1}\)
La sustitución produce \(\frac60\), así que analizamos los laterales:
Como los signos son distintos, el límite bilateral no existe.
Indeterminaciones más frecuentes
Una indeterminación aparece al sustituir directamente y no permite decidir el resultado. Debemos transformar la expresión mediante el método adecuado.
| Indeterminación | Métodos habituales |
|---|---|
| \(\frac00\) | Factorizar, simplificar, usar el conjugado o aplicar L’Hôpital. |
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | Comparar términos dominantes, dividir por la mayor potencia o aplicar L’Hôpital. |
| \(\infty-\infty\) | Reducir a una sola fracción o multiplicar por el conjugado. |
| \(0\cdot\infty\) | Transformar el producto en un cociente. |
| \(1^\infty\) | Utilizar logaritmos y el número \(e\). |
Factorización
Si numerador y denominador son polinomios, buscamos factores comunes.
- Sustituye y comprueba que aparece \(\frac00\).
- Factoriza numerador y denominador.
- Simplifica el factor que produce la indeterminación.
- Calcula el límite de la expresión simplificada.
Multiplicación por el conjugado
Se utiliza cuando aparecen diferencias de raíces.
- Multiplica numerador y denominador por el conjugado.
- Aplica la identidad \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
- Simplifica el factor común.
- Sustituye en la nueva expresión.
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-7x^2+6x}{1-x}\)
La sustitución produce \(\frac00\). Factorizamos:
Como \(1-x=-(x-1)\), simplificamos:
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
Indeterminación \(\frac{\infty}{\infty}\)
En cocientes de polinomios se comparan los términos de mayor grado. Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si el grado del denominador es mayor, el límite es cero; y si el numerador tiene mayor grado, el signo se determina a partir de los términos dominantes y del infinito considerado.
Indeterminación \(\infty-\infty\)
Si no hay radicales, conviene operar y obtener una sola fracción. Si aparecen radicales, suele ser útil multiplicar por el conjugado.
Indeterminación \(0\cdot\infty\)
El producto se transforma en una fracción que produzca \(\frac00\) o \(\frac{\infty}{\infty}\).
Indeterminación \(1^\infty\)
Cuando \(f(x)\to1\) y \(g(x)\to\infty\), se utilizan logaritmos y el número \(e\). Si existe el límite indicado:
Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital permite resolver límites con indeterminación \(\frac00\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), siempre que se cumplan sus hipótesis.
Cuándo puede aplicarse
- Debe aparecer \(\frac00\) o \(\frac{\infty}{\infty}\).
- Numerador y denominador deben ser derivables en un entorno adecuado.
- El límite del cociente de derivadas debe existir o ser infinito.
Aplicación repetida
Si después de derivar continúa apareciendo una de las dos indeterminaciones admitidas, la regla puede aplicarse nuevamente.
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)
La sustitución produce \(\frac00\), por lo que aplicamos L’Hôpital:
Qué hacer ante cualquier límite
Sigue siempre el mismo orden: sustituye, identifica el tipo de resultado, elige el método adecuado, desarrolla los cálculos y comprueba la coherencia.
Errores frecuentes
Ejercicios propuestos
Factorización
Límite trigonométrico
Cociente en el infinito
Producto indeterminado
Indeterminación exponencial
Apuntes y ejercicios en PDF
Resumen del tema
Un límite describe el comportamiento próximo de una función. Para calcularlo, sustituye primero y, si aparece una indeterminación, transforma la expresión mediante factorización, racionalización, operaciones algebraicas, comparación de términos dominantes o la regla de L’Hôpital.
Debes saber
- Interpretar límites laterales.
- Distinguir infinito e indeterminación.
- Elegir el método adecuado.
- Aplicar L’Hôpital con sus condiciones.
- Justificar si el límite existe.