Cálculo de límites | Matemáticas 2 Bachillerato

Profesor David Sánchez Ortiz | www.davidso.es | contacto@davidso.es

En esta lección aprenderás a calcular límites de funciones reales de una variable, una herramienta fundamental del análisis matemático y la base para el estudio de la continuidad, las asíntotas y la derivada.

Los límites permiten entender qué ocurre con una función cuando la variable se aproxima a un valor concreto o cuando crece sin límite. A lo largo de este tema trabajarás el cálculo práctico de límites, las indeterminaciones más frecuentes y la regla de L’Hôpital.

🎯 Objetivos de esta lección

Comprender el significado de límite en un punto y en el infinito.
Calcular límites finitos mediante sustitución directa cuando la función es continua.
Estudiar límites laterales y su relación con la existencia del límite.
Identificar y resolver indeterminaciones habituales.
Aplicar correctamente la regla de L’Hôpital.
Interpretar el resultado de un límite en el estudio de funciones.

📌 Contenidos que veremos

Significado de límite.
Operaciones con infinito.
Funciones logarítmicas y sus límites.
Límite finito de una función en un punto.
Límites laterales.
Límite infinito de una función en un punto.
Indeterminaciones más frecuentes.
Regla de L’Hôpital.

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1. Significado de límite

Para una función \(f(x)\), el límite cuando \(x\) tiende a un valor \(a\) representa el número al que se aproximan los valores de la función cuando \(x\) se acerca a \(a\).

\[ \lim_{x\to a} f(x)=L \]

En lenguaje intuitivo, no nos interesa tanto lo que vale exactamente la función en el punto, sino el comportamiento de la función cerca de ese punto.

De forma más rigurosa:

\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \iff \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0 \text{ tal que } 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \]

2. Operaciones con infinito

Antes de resolver límites conviene recordar algunas operaciones habituales con infinito:

\(k+\infty=\infty\)
\(k-\infty=-\infty\)
\(\infty+\infty=\infty\)
\((+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty\)
\((+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty\)
\(\dfrac{k}{\infty}=0\), si \(k\neq 0\)

Estas reglas son útiles para interpretar expresiones, pero no resuelven las indeterminaciones.

3. Funciones logarítmicas

Si en un límite aparece una función logarítmica \(f(x)=\log_a x\), conviene recordar:

Si \(x\to x_0\) con \(x_0>0\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\log_a x=\log_a x_0\).
Si \(a>1\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log_a x=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\log_a x=+\infty\).
Si \(0< a<1\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log_a x=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\log_a x=-\infty\).

4. Límite finito de una función en un punto

Si una función es continua en un punto \(a\), para calcular su límite basta con sustituir el valor:

\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \]

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to 2}\left(-2x^3+7x^2-x+2\right)=-2\cdot 2^3+7\cdot 2^2-2+2=12 \]

5. Límites laterales en un punto

Cuando una función es a trozos o presenta un comportamiento diferente a izquierda y derecha de un punto, conviene calcular sus límites laterales:

\[ \lim_{x\to a^-}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x) \]

Para que exista el límite \(\lim_{x\to a}f(x)\), ambos límites laterales deben existir y coincidir.

\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \]

Ejemplo: Sea

\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x<2 \\ -x+3 & \text{si } x\ge 2 \end{cases} \]

Entonces:

\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=3 \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=1 \]

Como no coinciden, el límite en \(x=2\) no existe.

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6. Límite infinito de una función en un punto

Si al sustituir obtenemos una expresión del tipo \(\dfrac{n}{0}\) con \(n\neq 0\), debemos estudiar los límites laterales.

Si ambos laterales dan el mismo signo, existe un límite infinito.
Si un lateral da \(+\infty\) y el otro \(-\infty\), el límite no existe.

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to -1}\frac{x^2+5}{x+1} \]

Al sustituir se obtiene \(\dfrac{6}{0}\), así que estudiamos los límites laterales:

\[ \lim_{x\to -1^+}\frac{x^2+5}{x+1}=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^-}\frac{x^2+5}{x+1}=-\infty \]

Por tanto, el límite no existe.

7. Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones que aparecen al sustituir directamente en un límite y que no permiten decidir el resultado sin transformar previamente la función.

\(\dfrac{0}{0}\)
\(\dfrac{\infty}{\infty}\)
\(\infty-\infty\)
\(0\cdot\infty\)
\(1^\infty\)

Indeterminación \(\dfrac{0}{0}\)

Si la función es racional, conviene factorizar.
Si aparecen raíces, suele funcionar multiplicar por el conjugado.
También puede resolverse aplicando la regla de L’Hôpital.

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-7x^2+6x}{1-x} \]

Al sustituir obtenemos \(\dfrac{0}{0}\). Factorizamos:

\[ x^3-7x^2+6x=x(x^2-7x+6)=x(x-1)(x-6) \]

Como \(1-x=-(x-1)\), simplificamos y obtenemos:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x(x-1)(x-6)}{1-x} = \lim_{x\to 1}\left(-x(x-6)\right)=5 \]

Indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\)

En funciones racionales de polinomios se aplica la regla de los grados:

\[ \lim_{x\to \pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}= \begin{cases} \pm\infty & \text{si } \deg P > \deg Q \\ 0 & \text{si } \deg P < \deg Q \\ \dfrac{a_n}{b_p} & \text{si } \deg P=\deg Q \end{cases} \]

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{-8x^2+3}{x^2+2x+4}=-8 \]

En este tipo de indeterminaciones también se suele aplicar la regla de L'Hôpital

Indeterminación \(\infty-\infty\)

Si no hay radicales, conviene operar y obtener una sola fracción.
Si hay radicales, se multiplica por el conjugado.

Indeterminación \(0\cdot\infty\)

En este caso se intenta transformar la expresión en una nueva indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\).

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\log(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{\log(x)}{1/x} \]

Se obtiene una indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\), que puede resolverse con L’Hôpital.

Indeterminación \(1^\infty\)

Este tipo de indeterminación se resuelve usando el número \(e\).

\[ \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e \]

En general:

\[ \lim_{x\to +\infty}[f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x\to +\infty}[(f(x)-1)\cdot g(x)]} \]

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8. Regla de L’Hôpital

La regla de L’Hôpital permite resolver límites cuando aparece una indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\), siempre que numerador y denominador sean derivables en un entorno adecuado.

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

También se puede aplicar en límites cuando \(x\to\infty\):

\[ \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Si después de derivar sigue apareciendo una indeterminación, la regla se puede aplicar nuevamente.

Ejemplo:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = 1 \]

🧠 Consejos

Antes de hacer nada, sustituye el valor para detectar si aparece una indeterminación.
Si puedes simplificar sin derivar, hazlo. L’Hôpital no siempre es la mejor opción.
Comprueba siempre si la indeterminación es realmente \(0/0\) o \(\infty/\infty\).
Cuida especialmente la derivación de logaritmos, exponenciales y funciones compuestas.

✏️ Ejercicios propuestos

\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{5x^2-3}{2x^2+1}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x\log(x)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+5}{x-1}\right)^{\frac{x^2}{x+3}}\)