Matemáticas II · Análisis · Tema 04

Derivadas: cálculo e interpretación geométrica

Comprende la derivada como tasa de variación instantánea, domina las reglas de derivación y calcula las rectas tangente y normal a una curva.

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Medir cómo cambia una función en un instante

La derivada conecta el cálculo algebraico con la geometría. Permite medir la variación instantánea de una magnitud, obtener la pendiente de una tangente y estudiar posteriormente el crecimiento, los extremos y la curvatura de una función.

1Interpretar TVM y derivada

2Aplicar reglas de derivación

3Calcular tangente y normal

Variación en un intervalo

Tasa de variación media

La tasa de variación media mide cuánto cambia una función entre dos valores del dominio. Geométricamente es la pendiente de la recta secante que une los puntos \(A(a,f(a))\) y \(B(b,f(b))\).

\[ \boxed{\operatorname{TVM}_{[a,b]}= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \]

Tasa de variación media representada mediante una recta secante — La TVM coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por \(A\) y \(B\).

Ejemplo 1 · Tasa de variación media

Calcula la TVM de \(f(x)=x^2-2x\) en el intervalo \([1,3]\)

\[ f(1)=-1, \qquad f(3)=3 \]

\[ \operatorname{TVM}_{[1,3]} = \frac{3-(-1)}{3-1} = \frac42 = \boxed2 \]

Variación instantánea

Derivada de una función en un punto

La derivada en \(x=a\) es el límite de las tasas de variación media cuando el segundo punto se aproxima al primero. Representa la tasa de variación instantánea y la pendiente de la tangente.

Definición con \(x\)

\[ f'(a)= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

Definición con incremento \(h\)

\[ f'(a)= \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}h \]

Interpretación geométrica de la derivada como pendiente de la tangente — La recta secante se aproxima a la tangente cuando el segundo punto se acerca a \(a\).

i La función derivada \(f'(x)\) asigna a cada punto derivable la pendiente de la tangente a la gráfica en ese punto.

Cálculo mediante el límite

Derivar a partir de la definición

Ejemplo 2 · Definición de derivada

Obtén la derivada de \(f(x)=x^2-2x\)

Aplicamos directamente la definición:

\[ f'(x)= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}h \]

\[ f(x+h)=(x+h)^2-2(x+h) =x^2+2xh+h^2-2x-2h \]

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0} \frac{x^2+2xh+h^2-2x-2h-x^2+2x}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{h(2x+h-2)}h\\ &= \lim_{h\to0}(2x+h-2) = \boxed{2x-2} \end{aligned} \]

En particular, \(f'(2)=2\).

Tabla fundamental

Derivadas elementales y regla de la cadena

En las funciones compuestas se deriva la función exterior y se multiplica por la derivada de la función interior.

Función	Derivada	Función compuesta	Derivada
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\([g(x)]^n\)	\(n[g(x)]^{n-1}g'(x)\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac1{2\sqrt{x}}\)	\(\sqrt{g(x)}\)	\(\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(e^{g(x)}\)	\(e^{g(x)}g'(x)\)
\(\ln x\)	\(\dfrac1x\)	\(\ln(g(x))\)	\(\dfrac{g'(x)}{g(x)}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\sin(g(x))\)	\(\cos(g(x))g'(x)\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\cos(g(x))\)	\(-\sin(g(x))g'(x)\)
\(\tan x\)	\(\dfrac1{\cos^2x}\)	\(\tan(g(x))\)	\(\dfrac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\)
\(\arcsin x\)	\(\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arcsin(g(x))\)	\(\dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-[g(x)]^2}}\)
\(\arccos x\)	\(-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arccos(g(x))\)	\(-\dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-[g(x)]^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac1{1+x^2}\)	\(\arctan(g(x))\)	\(\dfrac{g'(x)}{1+[g(x)]^2}\)

Ejemplo 3 · Regla de la cadena

Deriva \(f(x)=\sin(x^2+1)\)

La función exterior es el seno y la interior es \(g(x)=x^2+1\).

\[ f'(x)=\cos(x^2+1)\cdot2x = \boxed{2x\cos(x^2+1)} \]

Operaciones con funciones

Reglas de derivación

Suma y diferencia

\[ (f\pm g)'=f'\pm g' \]

Producto

\[ (fg)'=f'g+fg' \]

Cociente

\[ \left(\frac fg\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} \]

Composición

\[ (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) \]

Ejemplo 4 · Producto y cociente

Deriva \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2e^x}{x+1}\)

Primero derivamos el numerador \(u(x)=x^2e^x\):

\[ u'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x) \]

Aplicamos la regla del cociente:

\[ f'(x)= \frac{e^x(x^2+2x)(x+1)-x^2e^x}{(x+1)^2} \]

\[ \boxed{ f'(x)= \frac{e^x(x^3+2x^2+2x)}{(x+1)^2}} \]

Interpretación geométrica

Pendiente, crecimiento y decrecimiento

El número \(f'(a)\) es la pendiente de la recta tangente en \(x=a\). Para estudiar el crecimiento de una función no basta con mirar un único punto: hay que analizar el signo de la derivada en un intervalo.

Derivada positiva

\[ f'(x)>0\quad\forall x\in I \]

La función es creciente en el intervalo \(I\).

Derivada negativa

\[ f'(x)<0\quad\forall x\in I \]

La función es decreciente en el intervalo \(I\).

Derivada nula

\[ f'(a)=0 \]

La tangente es horizontal, pero eso no garantiza por sí solo un extremo.

! El signo de \(f'(a)\) describe la inclinación de la tangente en un punto. El crecimiento o decrecimiento se concluye cuando el signo se mantiene en todo un intervalo.

Rectas asociadas a la curva

Recta tangente y recta normal

Recta tangente

Pasa por \(P(a,f(a))\) y tiene pendiente \(f'(a)\).

\[ \boxed{y-f(a)=f'(a)(x-a)} \]

Recta normal

Es perpendicular a la tangente. Si \(f'(a)\neq0\):

\[ \boxed{ y-f(a)= -\frac1{f'(a)}(x-a)} \]

i Caso especial. Si \(f'(a)=0\), la tangente es horizontal, \(y=f(a)\), y la normal es la recta vertical \(\boxed{x=a}\).

Ejemplo 5 · Tangente y normal

Calcula las rectas tangente y normal a \(f(x)=x^2-2x\) en \(x=2\)

Calculamos el punto y la pendiente:

\[ f(2)=0, \qquad f'(x)=2x-2, \qquad f'(2)=2 \]

La recta tangente es:

\[ y-0=2(x-2) \Longrightarrow \boxed{y=2x-4} \]

La pendiente de la normal es \(-\frac12\):

\[ y-0=-\frac12(x-2) \Longrightarrow \boxed{y=-\frac12x+1} \]

Procedimiento

Método para calcular una tangente

Paso 1Punto

Calcula \(f(a)\)

Obtén el punto de tangencia \(P(a,f(a))\).

Paso 2Pendiente

Calcula \(f'(a)\)

Deriva la función y sustituye el valor \(a\).

Paso 3Ecuación

Usa punto-pendiente

Sustituye en \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).

Qué debes recordar

La derivada es una medida de cambio y una pendiente

La definición explica su significado; las reglas permiten calcularla con rapidez; y la interpretación geométrica la conecta con las rectas tangente y normal.

TVMPendiente de una secante.

DerivadaPendiente de la tangente.

CadenaDeriva fuera y multiplica por dentro.

NormalPendiente recíproca y opuesta, salvo tangente horizontal.

Errores frecuentes

Olvidar la regla de la cadenaEn una función compuesta hay que multiplicar por la derivada de la función interior.

Confundir punto y pendienteLa tangente necesita el punto \(P(a,f(a))\) y la pendiente \(f'(a)\).

Usar \(-1/f'(a)\) cuando \(f'(a)=0\)En ese caso la normal es vertical: \(x=a\).

Material de apoyo

Ejercicios de derivadas en PDF

PDF de práctica Ejercicios de derivadas con solución Colección de ejercicios de Bachillerato para practicar reglas de derivación y aplicaciones.

Resumen del tema

La derivada mide la variación instantánea y proporciona la pendiente de la tangente. Para calcularla se emplean derivadas elementales y las reglas de suma, producto, cociente y cadena.

Debes saber

Calcular la TVM.
Usar la definición de derivada.
Aplicar las reglas correctamente.
Interpretar el signo en intervalos.
Calcular tangente y normal.