Estudio y representación de funciones
Organiza dominio, cortes, simetrías, asíntotas, monotonía, extremos y curvatura para construir una representación gráfica completa y coherente.
Transformar cálculos aislados en una visión global de la función
Representar una función no consiste en unir puntos al azar. Cada parte de la gráfica debe justificarse mediante el dominio, los límites y el signo de las derivadas. Un buen guion evita omisiones y permite detectar resultados incompatibles antes de realizar el esbozo final.
Guion para estudiar una función
Aunque algunos apartados pueden intercambiarse, conviene mantener siempre un orden estable para no olvidar información relevante.
Dominio, cortes con los ejes y signo
Dominio
Determina los valores para los que la expresión tiene sentido. Los puntos excluidos dividen el estudio en intervalos y son candidatos a discontinuidades o asíntotas verticales.
Corte con el eje \(OY\)
Solo existe cuando \(0\) pertenece al dominio.
Cortes con el eje \(OX\)
Resuelve la ecuación y conserva únicamente las soluciones del dominio.
El signo de la función permite saber en qué intervalos la gráfica se encuentra por encima o por debajo del eje \(OX\). Para estudiarlo se utilizan sus ceros y los puntos excluidos del dominio.
Simetrías y periodicidad
Función par
La gráfica es simétrica respecto del eje \(OY\).
Función impar
La gráfica es simétrica respecto del origen.
Asíntotas
| Tipo | Cálculo | Recta |
|---|---|---|
| Vertical | \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\) | \(x=a\) |
| Horizontal | \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\) | \(y=L\) |
| Oblicua | \(\displaystyle m=\lim\frac{f(x)}x,\quad n=\lim(f(x)-mx)\) | \(y=mx+n\) |
El comportamiento en \(+\infty\) y \(-\infty\) debe estudiarse por separado. Una función puede aproximarse a rectas distintas en cada sentido.
Monotonía y puntos críticos
La primera derivada permite determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hay que estudiar su signo en los intervalos delimitados por los puntos críticos y por las discontinuidades.
Crecimiento
La función es creciente en el intervalo \(I\).
Decrecimiento
La función es decreciente en el intervalo \(I\).
Punto crítico
Debe pertenecer al dominio de la función.
Extremos relativos
Cambio de signo de \(f'\)
- Si \(f'\) cambia de \(+\) a \(-\), existe un máximo relativo.
- Si \(f'\) cambia de \(-\) a \(+\), existe un mínimo relativo.
- Si no cambia de signo, no hay extremo relativo.
Clasificación de un punto estacionario
- Comprueba primero que \(f'(c)=0\).
- Si \(f''(c)<0\), hay un máximo relativo.
- Si \(f''(c)>0\), hay un mínimo relativo.
- Si \(f''(c)=0\), el criterio no decide.
Curvatura y puntos de inflexión
Convexidad
La gráfica se curva hacia arriba.
Concavidad
La gráfica se curva hacia abajo.
Un punto de inflexión es un punto de la gráfica en el que cambia la concavidad. Los valores donde \(f''(x)=0\) o donde \(f''\) no existe son únicamente candidatos.
Estudio completo de \(f(x)=x^2e^{-x}\)
Esta función procede de un problema de Castilla y León de 2025 publicado y resuelto en la biblioteca. Aquí ampliamos su estudio hasta incluir la curvatura y los puntos de inflexión.
Como \(e^{-x}>0\), la función solo se anula cuando \(x^2=0\). El único corte con ambos ejes es \((0,0)\). Además, \(f(-x)=x^2e^x\), por lo que no es par ni impar.
Existe la asíntota horizontal \(\boxed{y=0}\) cuando \(x\to+\infty\).
No hay asíntota horizontal por la izquierda ni asíntotas verticales.
Como \(e^{-x}>0\), estudiamos el signo de \(x(2-x)\):
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Comportamiento |
|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) | Decreciente |
| \((0,2)\) | \(+\) | Creciente |
| \((2,+\infty)\) | \(-\) | Decreciente |
El factor exponencial es siempre positivo. La función es convexa en \((-\infty,2-\sqrt2)\cup(2+\sqrt2,+\infty)\) y cóncava en \((2-\sqrt2,2+\sqrt2)\).
Como \(f''\) cambia de signo en ambos valores, existen dos puntos de inflexión con abscisas:
La gráfica final debe respetar simultáneamente todos los resultados
Los cortes, las asíntotas, los intervalos de monotonía y la curvatura no son datos independientes: deben encajar en un único esbozo sin contradicciones.
Errores frecuentes
Guion para representar funciones
Resumen del tema
Un estudio completo reúne dominio, cortes, simetrías, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión. La representación gráfica debe construirse únicamente después de interpretar todos esos datos.
Debes saber
- Seguir el guion completo.
- Estudiar el signo de \(f'\).
- Clasificar correctamente los extremos.
- Confirmar los puntos de inflexión.
- Construir un esbozo coherente.