Profesor David Sánchez Ortiz | www.davidso.es | contacto@davidso.es
- Dominio
- Cortes con los ejes
- Simetría / periodicidad
- Asíntotas
- Monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento)
- Extremos relativos (máximos y mínimos)
- Curvatura y puntos de inflexión
A continuación, estudiaremos los puntos 5, 6 y 7
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Monotonía: intervalos de crecimiento y decrecimiento
La derivada de una función nos permite conocer el comportamiento de la misma, determinando si es creciente, decreciente o constante en un intervalo.
Una función \( f \) es creciente en \( (a,b) \) si para todo \( x_1, x_2 \in (a,b) \) con \( x_1 < x_2 \) se cumple \( f(x_1) < f(x_2) \).
Relación con la primera derivada:
- Si \( f'(x) > 0 \), la función es creciente.
- Si \( f'(x) < 0 \), la función es decreciente.
- Si \( f'(x) = 0 \), la función puede ser constante o tener un punto crítico.
Extremos relativos (máximos y mínimos)
Un punto \( x = c \) es crítico si \( f'(c) = 0 \) o \( f'(c) \) no existe.
Condiciones para extremos relativos:
- Si \( f'(c) = 0 \) y \( f'(x) \) cambia de signo en \( c \), puede haber un máximo o mínimo.
- Prueba de la primera derivada:
- Si \( f'(x) \) cambia de + a – en \( c \), hay máximo relativo.
- Si \( f'(x) \) cambia de – a +, hay mínimo relativo.
- Prueba de la segunda derivada:
- Si \( f''(c) < 0 \), hay máximo (MAX) relativo en \( (c, f(c)) \)
- Si \( f''(c) > 0 \), hay mínimo (min) relativo en \( (c, f(c)) \)
Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada nos indica la curvatura de la función:
- Si \( f''(x) > 0 \), la función es convexa (curva hacia arriba).
- Si \( f''(x) < 0 \), la función es cóncava (curva hacia abajo).
Un punto de inflexión ocurre cuando \( f''(x) = 0 \) y la concavidad cambia de signo.
En los materiales de esta lección puede encontrar un guión - esquema para abordar la representación de una función.
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Continúa con el siguiente tema para completar el bloque de análisis: