Derivadas: cálculo e interpretación geométrica | Matemáticas 2

Profesor David Sánchez Ortiz | www.davidso.es | contacto@davidso.es

📈 Tasa de variación media (TVM)

La tasa de variación media mide cómo cambia una función entre dos puntos del dominio. Se interpreta como la pendiente de la recta secante que une esos puntos.

\[ TVM = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

📍 Derivada de una función en un punto

Representa la pendiente de la recta tangente a la función en un punto. Es la tasa de variación instantánea.

\[ f'(a) = \lim_{x \to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\]

Si definimos \( h=x-a \) tenemos que \( x=a+h \) y si \( x \) tiende a \( a \), \( h=x-a \) tiende a 0, por tanto se suele escribir la expresión de la siguiente forma:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Por ejemplo, para calcular \( f'(2) \) de la función \( f(x)=x^2-2x \):

Primero, calculamos la función derivada de \(f(x)\):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^2-2(x+h)-x^2+2x}{h}=\]

\[=\lim_{h \to 0}\dfrac{x^2+2xh+h^2-2x-2h-x^2+2x}{h}=\lim_{h \to 0}\dfrac{h(2x+h-2)}{h}=2x-2 \]

Ahora podemos sustituir por el valor pedido: \( f'(2)=2\cdot 2 - 2 = 2 \)

📋 Derivadas elementales y con la regla de la cadena

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Función } f(x) & \textbf{Derivada } f'(x) & \textbf{Forma compuesta } f(g(x)) & \textbf{Derivada } f'(g(x)) \cdot g'(x) \\ \hline x^n & n\cdot x^{n-1} & \left(g(x)\right)^n & n \cdot \left(g(x)\right)^{n-1} \cdot g'(x) \\ \hline \sqrt{x} & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & \sqrt{g(x)} & \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) \\ \hline e^x & e^x & e^{g(x)} & e^{g(x)} \cdot g'(x) \\ \hline \ln x & \dfrac{1}{x} & \ln(g(x)) & \dfrac{1}{g(x)} \cdot g'(x) \\ \hline sen\,x & \cos x & sen(g(x)) & \cos(g(x)) \cdot g'(x) \\ \hline \cos x & -sen x & \cos(g(x)) & -sen(g(x)) \cdot g'(x) \\ \hline \tan x & \dfrac{1}{\cos^2 x} & \tan(g(x)) & \dfrac{1}{\cos^2(g(x))} \cdot g'(x) \\ \hline arcsen\,x & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & arcsen(g(x)) & \dfrac{1}{\sqrt{1 - (g(x))^2}} \cdot g'(x) \\ \hline \arccos x & \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & \arccos(g(x)) & \dfrac{-1}{\sqrt{1 - (g(x))^2}} \cdot g'(x) \\ \hline \arctan x & \dfrac{1}{1+x^2} & \arctan(g(x)) & \dfrac{1}{1 + (g(x))^2} \cdot g'(x) \\ \hline \end{array} \]

🔧 Reglas de derivación

• Regla de la suma: \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)
• Regla del producto: \( (f(x) · g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x)·g'(x) \)
• Regla del cociente: \( \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2} \)
• Regla de la cadena: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

📐 Interpretación geométrica de la derivada

La derivada en un punto nos da la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Si la derivada es positiva, la función crece; si es negativa, decrece.

Ecuación de la recta tangente

Si conocemos el punto de \( (a,f(a)) \) y la derivada \( f'(a) \), la recta tangente es:

\[ y - f(a) = f’(a) \cdot (x - a) \]

Es análoga a la forma punto-pendiente: \( y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \)

Cuestiones a tener en cuenta respecto a la pendiente

• Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
• La pendiente \( m \) de una recta también se puede calcular mediante la tangente del ángulo \( \alpha \) que forma con la horizontal. Por ejemplo, la pendiente de la bisectriz del primer y tercer cuadrante es 1 porque forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas y \( \tan 45 = 1 \)
• Si dos rectas son perpendiculares sus pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) tienen la siguiente relación: \( m_2 = \dfrac{-1}{m_1} \) o lo que es lo mismo \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Ecuación de la recta normal

La recta normal a una curva en un punto es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. Si la tangente nos da la dirección instantánea de la curva, la normal representa la dirección ortogonal a esa pendiente.

Si el punto de tangencia es \( P(x_0 , f(x_0) ) \), la ecuación de la recta normal es: \( y - f(x_0) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) \)

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