Matemáticas II · Análisis · Tema 08

Integrales indefinidas

Comprende el concepto de primitiva y aprende a elegir entre integrales inmediatas, cambio de variable, integración por partes y fracciones simples.

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Integrar consiste en recorrer el camino inverso de la derivación

Una integral indefinida representa una familia de funciones que tienen la misma derivada. La clave no es memorizar métodos aislados, sino reconocer la estructura del integrando y elegir la técnica más adecuada.

1Reconocer primitivas inmediatas

2Elegir y desarrollar cada método

3Comprobar el resultado derivando

Concepto fundamental

Primitivas e integral indefinida

Una función \(F\) es una primitiva de \(f\) en un intervalo cuando su derivada coincide con \(f\).

\[ \boxed{F'(x)=f(x)} \]

Si \(F\) es una primitiva, entonces \(F(x)+C\) también lo es para cualquier constante real \(C\), porque la derivada de una constante es cero.

\[ \boxed{\int f(x)\,dx=F(x)+C} \]

Ejemplo 1 · Familia de primitivas

Calcula \(\displaystyle\int 3x^2\,dx\)

\[ \int 3x^2\,dx=x^3+C \]

Comprobamos derivando:

\[ \frac{d}{dx}(x^3+C)=3x^2 \]

! En una integral indefinida no debe olvidarse la constante \(C\). Dos primitivas de la misma función solo pueden diferir en una constante.

Tabla básica

Integrales inmediatas

Integrando	Primitiva	Condiciones
\(k\)	\(kx+C\)	\(k\in\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)	\(n\neq-1\)
\(\dfrac1x\)	\(\ln\|x\|+C\)	\(x\neq0\)
\(e^x\)	\(e^x+C\)	—
\(a^x\)	\(\dfrac{a^x}{\ln a}+C\)	\(a>0,\ a\neq1\)
\(\sin x\)	\(-\cos x+C\)	—
\(\cos x\)	\(\sin x+C\)	—
\(\dfrac1{\cos^2x}\)	\(\tan x+C\)	\(\cos x\neq0\)
\(\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arcsin x+C\)	\(\|x\|<1\)
\(-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arccos x+C\)	\(\|x\|<1\)
\(\dfrac1{1+x^2}\)	\(\arctan x+C\)	—

Ejemplo 2 · Linealidad

Calcula \(\displaystyle\int\left(4x^3-\frac2x+5e^x\right)\,dx\)

\[ \begin{aligned} \int\left(4x^3-\frac2x+5e^x\right)\,dx &= 4\int x^3\,dx -2\int\frac1x\,dx +5\int e^x\,dx\\ &= x^4-2\ln|x|+5e^x+C \end{aligned} \]

Antes de calcular

Cómo elegir el método de integración

1¿Es inmediata?Reescribe potencias, raíces y constantes antes de usar otro método.

2¿Hay una composición?Busca una función interior acompañada de su derivada: cambio de variable.

3¿Es un producto?Logaritmos, polinomios y exponenciales suelen sugerir integración por partes.

4¿Es racional?Compara grados, divide si es necesario y factoriza el denominador.

i Antes de aplicar un método conviene simplificar, extraer constantes y transformar raíces en potencias. Una integral aparentemente complicada puede convertirse en inmediata.

Funciones compuestas

Cambio de variable

Se utiliza cuando el integrando contiene una función \(g(x)\) y aparece, salvo una constante, su derivada \(g'(x)\).

\[ t=g(x), \qquad dt=g'(x)\,dx \]

Ejemplo 3 · Sustitución

Calcula \(\displaystyle\int 2x\cos(x^2+1)\,dx\)

1. Elegimos el cambio.

\[ t=x^2+1, \qquad dt=2x\,dx \]

2. Transformamos la integral.

\[ \int 2x\cos(x^2+1)\,dx = \int\cos t\,dt \]

3. Integramos y deshacemos el cambio.

\[ \int\cos t\,dt = \sin t+C = \boxed{\sin(x^2+1)+C} \]

Ejemplo 4 · Forma logarítmica

Calcula \(\displaystyle\int\frac{3x^2}{x^3+5}\,dx\)

\[ t=x^3+5, \qquad dt=3x^2\,dx \]

\[ \int\frac{3x^2}{x^3+5}\,dx = \int\frac1t\,dt = \boxed{\ln|x^3+5|+C} \]

Producto de funciones

Integración por partes

\[ \boxed{\int u\,dv=uv-\int v\,du} \]

Para elegir \(u\) puede utilizarse como orientación la regla ALPES: arcotrigonométricas, logarítmicas, polinómicas, exponenciales y seno/coseno. No es una regla absoluta: debe elegirse la opción que simplifique la nueva integral.

Ejemplo PAU · Castilla y León 2022

Calcula \(\displaystyle\int xe^x\,dx\)

1. Elección de \(u\) y \(dv\).

\[ u=x, \qquad dv=e^x\,dx \]

2. Calculamos \(du\) y \(v\).

\[ du=dx, \qquad v=\int e^x\,dx=e^x \]

3. Aplicamos la fórmula.

\[ \begin{aligned} \int xe^x\,dx &= xe^x-\int e^x\,dx\\ &= xe^x-e^x+C\\ &= \boxed{e^x(x-1)+C} \end{aligned} \]

Ejemplo PAU · Cantabria 2024

Calcula \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\), con \(x>0\)

1. Elegimos:

\[ u=\ln x, \qquad dv=x\,dx \]

2. Calculamos:

\[ du=\frac1x\,dx, \qquad v=\frac{x^2}{2} \]

3. Aplicamos integración por partes.

\[ \begin{aligned} \int x\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx\\ &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac12\int x\,dx\\ &= \boxed{ \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C} \end{aligned} \]

Cocientes de polinomios

Integración de funciones racionales

Grado del numerador mayor o igual

Se realiza primero la división de polinomios.

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)} \]

Fracción propia

Se factoriza el denominador y se descompone en fracciones simples.

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} +\cdots \]

Ejemplo 5 · Fracciones simples

Calcula \(\displaystyle\int\frac1{x^2-1}\,dx\)

Factorizamos y descomponemos:

\[ \frac1{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \]

\[ 1=A(x+1)+B(x-1) \Longrightarrow A=\frac12,\quad B=-\frac12 \]

\[ \begin{aligned} \int\frac1{x^2-1}\,dx &= \frac12\int\frac1{x-1}\,dx - \frac12\int\frac1{x+1}\,dx\\ &= \boxed{ \frac12\ln|x-1| - \frac12\ln|x+1| +C} \end{aligned} \]

Control del resultado

Comprobar una primitiva

La forma más segura de comprobar una integral indefinida es derivar el resultado. La derivada debe coincidir exactamente con el integrando.

Comprobación

Verifica \(\displaystyle F(x)=e^x(x-1)\)

\[ \begin{aligned} F'(x) &= e^x(x-1)+e^x\\ &= xe^x \end{aligned} \]

Por tanto, \(F\) es una primitiva de \(xe^x\).

Biblioteca PAU

Problemas para seguir practicando

Castilla y León · 2022 Límite de L’Hôpital e integral por partes Problema que combina un límite y la primitiva de \(xe^x\). Resolver problema → Cantabria · 2024 Función \(x\ln x\) Derivadas, integración por partes y cálculo posterior de un área. Resolver problema → Madrid · 2026 Integral con parámetro Ejercicio avanzado para trabajar linealidad e integración por partes. Resolver problema →

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Qué debes recordar

El método se elige por la estructura del integrando

Simplifica primero, identifica la forma y desarrolla el método completo. Después comprueba la primitiva derivando el resultado.

InmediataAplica directamente una fórmula conocida.

CambioFunción interior acompañada de su derivada.

Por partesProducto que se simplifica al derivar un factor.

RacionalDivisión, factorización y fracciones simples.

Errores frecuentes

Olvidar la constante \(C\)La integral indefinida representa una familia de primitivas.

Aplicar por partes sin calcular \(v\)\(v\) se obtiene integrando \(dv\); no debe confundirse con \(dv\).

No deshacer el cambio de variableEl resultado final debe expresarse en la variable original.

Resumen del tema

Integrar es encontrar primitivas. Empieza buscando una integral inmediata y, si no lo es, analiza si conviene cambio de variable, integración por partes o fracciones simples. La derivación permite comprobar el resultado.

Debes saber

Utilizar la tabla de inmediatas.
Aplicar linealidad.
Desarrollar un cambio de variable.
Resolver por partes paso a paso.
Descomponer fracciones racionales.